Soit l’équation

G9) ROPLONES ETC SO)

Soit D un cercle de centre O et de rayon fini, modifions le comme au n° 10; dans le domaine obtenu D’, (x — x, est uniforme pourvu qu’une détermination ait été choisie en un point, à l’origine par exemple. Toute solution de léquation (39)

est, d’après la section I, holomorphe dans D', et en particulier au voisinage de —. ç

L’équation (39) mise sous forme d’équation intégrale, s’écrit (pour la solution nulle à l'origine):

= fa@r( a+ [ex ex

la première intégrale reste holomorphe quand x tend vers x, f(x) aura donc la même singularité que la seconde intégrale. En développant c(x) suivant les puissances de Z — X,, on voit immédiatement qu’elle sera le produit de (x — x,)* par une fonction entière. En raisonnant de la même manière, on verrait aisément qu’en chacun des points 6”x,, la partie irrégulière de f(x) est de la forme (x — 5"x }*"o,(x), o,(x) étant une fonction entière.

Comme au n° 11, nous allons chercher à satisfaire formellement à l’équation (39) par un développement du type

(40) fx) = x) + — 2) pe) + — 5x To CD 2 HG — ap CR) + + œ(x), op, (x), p,(x), ..., ®,(x), ... désignant des fonctions uniformes dans tout le plan. Dans le plan coupé suivant les lignes 76", /6"*', ..., les différentes branches de la fonction (x — 5"x,)**" sont des fonctions holomorphes distinctes; le choix d’une de ces fonctions équivaut au choix d’un argument de x — 6"x,. Prenons pour c d’une part et pour — x, d'autre part, l’un quelconque de leurs arguments choisi une fois

pour toutes, il en résulte pour le produit — "x, un argument déterminé ; l'argument de x—6"x,, x mobile dans le plan coupé, qui coïncide avec le précédent pour x = 0 sera appel argument principal, et la détermination correspondante d’une puissance de x—6"x, détermination principale. On a entre les arguments principaux des fonctions

la relation

F b+q ne AR PEN ed — 2 arg (x — 61x ) — arg ( = G x.) p.argo,

% car lorsque x ne traverse pas les coupures Jo"; PORTES 5 ne traverse pas

lot, 1511, ..., les deux arguments principaux sont donc continus; leur différence

qui est un argument du nombre fixe 6? reste constante, il sufht de donner à x la valeur o pour voir que c’est l'argument choisi pour 6 qui intervient au second membre. On aura aussi entre les déterminations principales des puissances la relation

x v (CHEN EE EE Le EE s1x,) op,

5” désignant un nombre parfaitement déterminé, calculé avec largument choisi pour 6.

Nous nous proposons de déterminer le développement (40) de telle sorte que, dans le plan coupé suivant }, ]5, l6*, ..., il satisfasse à l’équation (39) en prenanc dans un membre comme dans l’autre les déterminations principales. Exprimons les quantités qui figurent dans l’équation (39) en groupant les termes qui ont le même

(Q =p(+)+e— ex) ref) +Gcr)" re (+) + He era (E) + Les deux membres de léquation sont alors:

AO AG en te) al NE RE

Re mn dan + 1)8,@)] (41) ETES, D PUS DEV er ES OA A ‘

Le da Ge — Xo) Pa (x) + (+ #)9,(x)] SE A SR NE EE AS

NE) +de) = HG) ec)

+ cenemellelleltee etais Re + CASE MEN PA CO RER Geo te te

point critique :

D’après la remarque qui nous a déjà servi au n° 11, les coefficients de chaque fonction multiforme doivent être les mêmes, et les termes uniformes également; d’où les équations

GE 2 )P CG) TE BP Cr) = CC)

Ge 23910 ++ 08,6) =, (5) EE En tee ce M ee

CG — 5"x,)98 x) + (he + #)9, 0) = os = (=

(44) px) = a(x)? ee)

Chacune des équations (43) peut être regardée comme rentrant soit dans le type étudié par BrioT et BOUQUET, soit dans le type étudié par Fucus; elle admet une seule intégrale uniforme autour du point où s’annule le coefficient de la dérivée; on voit de proche en proche que cette intégrale est une fonction entière parce que le second membre est une fonction entière. Quant à l’équation (44), c’est l’équation homogène correspondant à l’équation donnée (39), ses solutions sont des fonctions entières.

22. La série (40) ne sera pas convergente en général; il sufht en effet de prendre

le cas ou a(x) et c(x) sont constantes et égales à 1, pour voir que

I I I X)=—, px) ———— ©, … = Tee PL ) ue ul A ) e(u—Hr sé ? ) (AN ( ) u(uHr) 4 (u+-n)st He be } le terme général de la série (40) est donc dans ce cas

. — 6x ÿ+" ue (1e + 1) È shC + Hire +p+n— 1 ; nin+1) AE BG+t)... (+ La divergence de cette série est d’ailleurs tout à fait comparable à celle de la série analogue rencontrée au début du n° 12.

il se réduit pour x — o à j qui grandit indéfiniment avec #.

Nous allons baser le raisonnement sur la considération des fonctions multiformes (x — 5"x ' — P,(x), les P,(x) étant des polynômes. Nous remplacerons donc le développement (40) par le suivant

5) FO) = 60) + 9,0) — sat [x — ax — PH]

FLAMANT

Le me général de cette série peut encore s’écrire CIC PANNE CE dont la dérivée est pa C)ICX — AE — (x — XXE, (x)] + 9, GC) [Cr + pi) Ce — Sa — n H 1) Ge — A) PC) — Ce — 5" x) 2, (0) = [x — 63,39, C0) + Ge + p)9, CIC — sax — LT — P, )] + PQ) CG — sx) TG — 1) 2,0) — G — 9" x,)P, C0)

en mettant en évidence la même fonction multiforme que dans f(x), et d’autre part

EN " AE x une partie uniforme. D’une manière analogue, le terme d’indice # — 1 de (=) peut G

A en Rev à ee ae | G ) G” (x x.) Le © x) pe 6 )

= (+) JG 7 PEN

s’écrire :

ta (Se cyfr er, (2).

Les expressions (41) et (42) seront donc remplacées par les suivantes FO)= GIE do, — 6x JTE — PC) — (x — °x,)PA(x)] qe À HOME NP)

Vs eee Le ter let enemeMeteMe etes Tes note de llerie leretieise

PN HE Code (EE) 2er, (E)]

AD 22 C2 (Cm De 2 ©) + CRE A NO ra Ed SET + De (era) 2 + SNS ee RE ON D MO RENE ET

On voit nes que les », (x) devront vérifier ie mêmes équations (43); ces fonctions sont donc indépendantes des polynômes P,(x) et on peut choisir ces derniers de façon à rendre convergentes la série (45) et les séries qui figurent dans

(46) et (47).

SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE FONCTIONNELLE LINÉAIRE. 43 Soit R un nombre positif choisi arbitrairement et r, le module de x. Posons M, = max fo (x Mg, à Ne Ho max |Cx Fr) x.) Pr (x) se Cr a 0e u.) P, (x) Il existe des nombres positifs &,, &,, &,, ..., &., ... faisant converger les séries

ayant pour termes généraux

M. (R + nr): nl e., M, (R + r.) fat LIÉE: k et M’ (R + .)! | e. =

Considérons, comme au n° 12, le domaine étoilé E obtenu en excluant du cercle {x| Z R une bande entourant les lignes /, lo, lo?, ...

Soit p.(x) un polynome tel que

CUT) CREER CURE pour x dans E

d’où, en intégrant,

CE nt nt im ES

Posons

G)= Car + J Dar

Nous avons

pour x dans E.

(Ge — 1) — LT — gx) <'e | Ce — A) — gx) KA:

En prenant comme terme de comparaison (u — 1)(x — x)" on voit aisément que

G— 20) —G—x)a 6) <eR HT, HA) pour x dans E.

‘) ". ; En remplaçant x par r ten multipliant par une puissance convenable de « on a

a+ Dar VEN n(p—2),! A n(b4—2) CE ES PS ECS ee Her. Bi __ rit) F4 n(p—1) Cs—1"s,) af +)" dans Eo".

fn) esp ( er paie ape"

En prenant les polynômes

poney, (à)

on aura donc

ÂQ — 1x — 5x) — Pix) fr", | pour x Cx— 6"x }'— P, (x)| SNA Ele dans Es” Ce PDG — d'a, PGI CRT, AE — 1e,

; 2 x En prenant pour terme de comparaison (x — 6"x,}"7", et en remarquant que Fer

est dans E5”"-* lorsque x est dans E6", on verra que

PO) at (EE) ap G, +) pour x dans E°.

Toutes ces inégalités permettent de voir que, dans un domaine E5N, en considérant les termes à partir de celui dont oVx est le point critique, la série (45) et celles qui figurent dans les seconds membres de (46) et (47) sont normalement convergentes. La solution de l’équation (39) est donc bien la somme de la série (45); il est clair que la fonction w(x) de cette dernière série n’est pas donnée par l’équation (44), mais par une équation non homogène qui serait obtenue en égalant les parties uniformes des seconds membres de (46) et (47); la fonction b(x) de cette équation serait une fonction entière et p(x) est aussi une fonction entière.

23. Il sufht de donner maintenant leur sens général aux symboles (x — 5"x,}*—" qui désignaient jusqu’à présent la détermination principale, pour que la fonction f(x} soit représentée par la série (45) dans tout son domaine d’existence. On pourrait répéter ici tout ce qui a été dit au n° 12. Il faut noter toutefois que si 4 est un nombre réel fractionnaire, il n’y a qu’un nombre fini de branches autour de chaque point critique.

Etudions maintenant lallure de'f(x) quand x tend vers c?x . Il suffit d’étudier dans la série (45) le terme T, qui a 6?x, pour point critique, car la somme des autres termes est normalement convergente, et tend vers une limite finie et fixe, sa valeur au point 6?x..

Mettons ce terme sous la forme T,— @,(x)[(x — 6? x PE — (x — o? x, P,(x)]. o,(x) étant une fonction entière, tend vers une limite déterminée + (7x), les équations (43) montrent que cette limite n’est pas nulle si c(x) ne s’annule pas, en x, (ce qu’on peut toujours supposer) et si 4(x) ne s’annule en aucun des points «x. Le second

terme de la différence entre crochets tend vers o. Par suite, T, se comporte en général comme (x — 6x Y##. Posons

x = 6x, + pe et u = à + Gi log (x — 6x) = Lp + :0 +Hu)log (x — 6x) = Cp + a)Lo — 80 Æ Cp + «)0 + BLe]

d’où il résulte

et, comme

(x = GP er gfrvilogt fac)

Re sx green,

Envisageons d’abord le cas le plus simple, celui où w est réel; le module ci-dessus est alors indépendant de 0, il tend vers o ou <-c suivant le signe de px, c’està-dire de p + u (cette quantité ne peut pas être nulle puisque n’est pas un entier réel). D’où les deux cas suivants:

1° p <T — uw (ce cas ne peut se produire que si m est negatif): f(x) croit indéfiniment comme g?*".

2° p> —u: f(x) tend vers une limite finie indépendante du chemin.

Lorsque w est imaginaire, il y a lieu de distinguer le cas du chemin ordinaire et le cas du chemin en spirale. Lorsque p + «x n’est pas nul, on a des conclusions analogues aux précédentes (x remplaçant &) pour un chemin ordinaire; un chemin en spirale peut toujours être choisi de manière que T, tende vers o, croisse indéfiniment avec une rapidité arbitraire, ou ne tende vers aucune limite [ce qui a lieu lorsque (x—5fx ÿ"Ÿ a un module constant et un argument qui augmente indéfiniment]. Lorsque p + x est nul, (ce cas ne peut se produire que si x est un entier négatif), c’est sur un chemin en spirale que l’allure est la plus simple, (x — «x )** tend vers o ou œ suivant le sens dans lequel s’enroule la spirale. Sur un chemin arrivant en 6? x, avec une tangente déterminée, (x — c?x,)** tend vers une limite déterminée qui varie avec cette tangente. Il en est de même de f(x).

Deuxième cas: = 1.

24. Les théorèmes d’existence et d’unicité de la solution sont applicables à l’équation (39) dans le domaine D’ indiqué au début du n° 16. Les seuls points singuliers possibles de la solution étant x,, 0x,, ..., "x, on cherchera 4 la représenter par la

formule suivante à un nombre limité de termes:

me = px) + CG — 2)" 9, (x) + CG — sx px) + 2. Mn Pr 0 Cr) 0 (Ge a)" ex)

d’où l’on tire:

(ES) =) +6 nn (5) +6 af)

I Ë - . “ + (x — x} gr Pi ei Rd a Ce en Dit 20 vEE EE Ve ei

G [eo

La présence dans cette expression d’un terme ayant x, pour point critique va

changer, dans la formule (42), la partie ayant le même point critique:

k AUXILX = ZX e 4 Ce x e(x) sera remplacé par (x — x) | e() + EC GT 2) (+) |

En outre, les formules (41) et (42) sont limitées à un nombre fini de termes. Le

système (43) va donc être remplacé par

Ge xD) + ee, = DE (0) + cc)

Ge sx)8 0) ++ De, = De (=)

(x — ox, )o! (x) + (u + 2), = 4% ( )

+ Crslid se suture le TS SLT IN LS TA SQL RR A

dx de GG HE Da, 6 = 2e (+)

Par le changement de fonctions inconnues

PCI= (x), p,(cx) =, (x), p, (sx) =, (x), .…., pe, Lise =n (+) —Ÿ,(x)

le système (49) se ramène à un système d'équations différentielles linéaires

CAO TIC — DE 4 —c(s)

CRU RO ES OL CEA TC ss, (x—x,)9’, 0) 4, (x) ++ 234, (5) —o u+

(x—x,)d",,(x) GO +E+E-DUE =

qui peut être regardé comme rentrant dans le type étudié par Fucus. Il admet une solution et une seule formée de fonctions holomorphes autour de x,, ces fonction restent d’ailleurs holomorphes dans tout le domaine où a(x) et c(x) le sont elles-mêmes. Les fonctions &,(x) sont également holomorphes dans ce domaine.

L’allure de la fonction quand x s’approche d’un point singulier c?x, est la même que dans le cas précèdent ; toutefois comme l’entier p ne peut pas dépasser k — 1, si uw (ou sa partie réelle) est inférieur à — (k — 1), f(x) croit indéfinement quand x tend vers tout point critique (sur un chemin ordinaire quand w est imaginaire).

25. Supposons les fonctions 4(x) et c(x) de l’équation (39) holomorphes dans un cercle D de centre O et de rayon R supérieur à r,. La série (40) satisfait formellement à l’équation (39) si les fonctions ®,(x) verifient le système (43) et la fonction 9(x) l’équation (44); ces conditions, qui étaient nècessaires et suflisantes dans le premier cas, restent évidemment suffisantes dans le cas actuel. Les fonctions # (x) et w(x) sont

holomorphes dans D comme 4(x) et c(x). Nous allons limiter supérieurement leurs modules, en supposant

le(x)} Z À et lc(x)| 2Z C pour x dans D.

L'intégrale générale de la première équation (43) est

= GANT [GNT eds en remplaçant c(x) par son developpement de TayLor autour du point x, GE ET er A Eden Den mA ren AU VE et en intégrant terme à terme, On a: |

L'intégrale holomorphe (qui seule nous importe) correspond à la valeur o de la constante K. Lorsque l’exposant est tel que (x—x,)* tende vers o quand x tend vers x, en ligne droite, cette intégrale peut s’écrire

2,0) = Ga" f GT Gdx

la quadrature étant effectuée le long d’une droite; les puissances de x — x ‘étant évaluées avec le même argument sous le signe Î et en avant du signe Î

Cette formule a sur la précèdente l'avantage d’être valable dans tout le domaine D. On a déjà vu (n.° 23) que

a—1 ,—f An) LS e Ga) = pa fete Qu = à + Bi).

L’argument étant constant le long du chemin d’intégration employé, on voit que

[ e—sreaa) doctrine [he xpaa = certes se

Comme d’ailleurs CT = je — x free

on obtient

GIZ C—,

ceci dans l'hypothèse

Li S10)

Nous pouvons de proche en proche limiter supérieurement en module le second membre de chacune des équations (43) et par suite l’intégrale de cette équation, con-

formément au tableau

moccs Mile oecées a(lede

atelen es Mode Ci Derre fete

(4 efxg y" a(x) x CALE) GO En ere car ee 2.( 5 En ce I Ca m2)

vire, re Te ilere feat se Melle ttet seller eee etes

éme le! el reiiel Lo eme) qe el ete Ds Merle Te lee

On a d’ailleurs CCS ET ECTS ES

Comme nous considérons la détermination principale, x restant dans le cercle C, de rayon r,, l'argument de x — 5x, différera de celui de — 5"x, en plus ou en moins

d’ I ! 1 T (SC un angle au plus égal à —, > cé que nous écrirons

Geox) ag) +0 (—E<r<+E)

d’où — Barg(x — 6x) = — Barg(— 6°x,) — 60 et enfin =

— Barg(x — 6x) 7 — nôargs — Barg(— x,) + [8]

D'autre part, x étant à l’intérieur ou sur la circonférence du cercle C, n = AN ont

En tenant compte de ces inégalités on aura n 1B81-T —Barg(—xo) (CRE Au P16 77 Où Caen a et

Gr):

(273 ax Hi)(x F2)... (a Fr)

T ; Eu —Barg(—x0)

(Ge — x re, (x) Z Ce”

La série (40) est donc normalement convergente dans le domaine C,, et sa somme f(x) est une fonction continue jusque sur le cercle. Les inégalités du tableau (so) (2° colonne) permettraient de démontrer la convergence normale de la série figurant au second membre de (42); le second membre de (41) est la même série d’après le choix des fonctions +,(x), elle est donc convergente dans les mêmes conditions. La fonction f(x) vérifie donc bien léquation (39). Comme elle est holomorphe à l’origine, elle coïncide avec l’une des solutions déterminées dans la section I.

Si maintenant l’on avait

LS O on commencerait le tableau d’inégalités (so) à une fonction p, (x) d'indice assez élevé pour avoir x+g>o.

Les fonctions p,(x),, p,(x), ..., ®,,(x) sont holomorphes et bornées dans D;

le second membre de l'équation déterminant ?, (x) est donc inférieur en module à un

nombre C', d’où:

(A efx87 "3

Cr Ru ar La(x) Le ; (4 nee (eco tien cr:

La série, commencée au terme ayant 5!x, pour point critique, est normalement

convergente. La fonction f(x) est donc continue jusque sur le cercle C, sauf peut-être aux points xX,, 6X,, ..., 61°x,; pour connaître son allure quand'x tend vers un de ces points, il sufht de considérer le terme correspondant de la série; la conclusion est la même que dans le premier cas (n° 23).