CHAPITRE Il

SUR CERTAINS SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES À UNE INFINITÉ D’INCONNUES.

Généralités.

1. La résolution de l’équation différentielle fonctionnelle lorsque l’origine est point singulier de b(x) conduit à résoudre des systèmes d’équations linéaires à une infinité

FLAMANT. ve

so PAUL FLAMANT.

d’inconnues du type suivant:

b+a,x, ERREUR + 6,8,%, JE FRS TC PERTE Da b, EE BX Tax em A or A

b, + 4, *, +e. NES OT pus TE Hope 0)

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où les coefficients 4,, 4,,.…, @,,… sont en progression arithmétique, g,,£,,.….,£,, … en progression géométrique de raison o, b,, b,, ..., b,., ... sont les coefficients d’une fonction entière et c,, €,, ..., €,, ... ceux d’une fonction holomorphe. Nous allons. étudier ce système en évitant de faire intervenir ces hypothèses particulières, mais en nous bornant aux cas dont nous aurons besoin par la suite.

Le système (1) est très simple lorsque les coefficients c, sont tous nuls. La solution générale s’obtient en laissant x, arbitraire et en tirant x, de la première équation, puis x, de la deuxième, et ainsi de suite. L'idée directrice de ce chapitre étant de ramener le cas général à ce cas particulier, nous allons écrire le système (1) sous la forme : NAS

a —e, + d,x, —(c,x, mo M ee x, rate + EX, + RU ni

US ds Me CN NN

eXioileure- selle Trieste tele teere tete le ler lei lerretet es tetes à. s'lliele Melle

en posant a b d, = — — e, = — LITE 8u 8 La solution du système ee CS x, —=t,+d,x,

que Jj'appellerai système simple, est

X, —=d,x, +e, x neue ue CA DRE MERE

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SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE FONCTIONNELLE LINÉAIRE. St

2. Cherchons à résoudre le système (2) par la méthode d’approximations successives suivante. Remplaçons d’abord par o les inconnues situées dans les parenthèses des seconds membres, et prenons pour première approximation une solution du système ainsi simplifié. Nous calculerons ensuite chaque approximation en remplaçant les inconnues situées dans les parenthèses par leurs valeurs respectives dans l’approximation précédente. On voit qu'on est ainsi conduit à résoudre une succession de systèmes simples. Comme d’habitude, nous allons mettre en évidence la différence des valeurs de chaque inconnue dans deux approximations consécutives; les systèmes envisagés sont formés des équations

40) (5) more + d'u (= 1, 2,2) qui ne diffèrent de (3) que par le nom des inconnues; et, à partir de v — 2, LP (v) u= 1 (v—1) (v—1)

(6) COAES FE d, u,, => (c,u + C. 3 ur 0 re C re) é ) (n = 1, 2, .. 5) qu'on peut écrire (PR) (v)

(7) Un), nl Cu + d, u, (n = 1, 2,.. )

en posant

(8) PR CS en tt)

Il faut démontrer:

9 que cette série (8) converge pour toutes les valeurs de # et de v, afin que les approximations successives existent ;

2° que ces approximations sont convergentes ;

3° que les valeurs obtenues pour les inconnues x, vérifient le système (2).

Les coefficients d, sont les mêmes dans tous les systèmes (6); la nature de la série formée par ces quantités joue un rôle important; pour simplifier l’exposition, je ferai dès maintenant une distinction à ce sujet.

Premier cas: La série d, est absolument convergente.

3. La solution de chaque système est donnée par des formules analogues à (4).

ul est donc linéaire par rapport à ul); par suite, d’après la formule (8), «©? est

n+I “e est linéaire par rapport à 7 ét Aux en)

séquent linéaire par rapport à ul) et u); et ainsi de suite. De plus, le AR de

(} . par suite #°) a dans e5) le coef-

n+I ; (3) (1) HE

; et enfin #® entre dans #%), comme u"

linéaire par rapport à uw. » €t par con-

“a Fe le même que cet de ul ne u (2)

u® dans u ae que #° a déjà dans el de u\

Le faitrest sat, comme on . verrait de proche en proche, et on peut poser ne rt

22, = de, + 0 + af (9) 2 RENE OMR En fus RAT

pe un, +w ul “ aus 1 ent UP EN ut

eee se (aie lartertells sie d'etre COUCHE ON AIT .. Len

s2 PAUL FLAMANT.

4 : (x ù (y—1) La strie eŸ convergera si, quand on l’ordonne par rapport à #°, ..., #7",

les coefficients de ces quantités et le terme indépendant sont des séries convergentes; dans ces conditions les v et w du tableau (9) sont us

Occupons nous d’abord des coefficients des y (qui ne dépendent que des c et des d). Tout d’abord

Le coefficient de ul” dans el?)

D = — (Gud, + eu, + +)

est

pu u®) il suffit de Ne dans la formule ana-

Pour avoir le terme en w,

ui, = fa d “a+ fé 04, He fe Ep

On passerait des w°

logue à (4) donnant ar e®) à son terme en 4). Donc

aux wŸ% par deux opérations entièrement analogues.

En posant CNED, la on a

(Go) w,|= D,D, ... D et