LR CURE) LE NA D,C(E

+) (+ arr ce.. pf+ ra] f+hGes] RCE 2. Hs] . [2,485]

Nous supposerons que l’on a les inégalités

CCR.) LS (14) D, + %.., Co Zk, Ga; 0

Dans ces conditions, nous aurons

PT SRE Se RPC UE et, plus généralement (15) RÉ E ET AAUETÉ CG) —-

La valeur de x, fournie par les approximations successives s’obtient en additionnant membre à membre les relations (9). L'ensemble des seconds membres peut être regardé comme formant une série double; cherchons si elle est absolument convergente en groupant d’abord les termes par colonnes. D’après les inégalités (15) et (12), chaque colonne est comparable à une série géométrique de raison 4, C(k.,) pour la première et A, pour les suivantes; chaque colonne sera absolument convergente si l’on a à la fois

(16) ARTE et ER, CCE) < 1.

À partir de la deuxième, les colonnes diffèrent par lindice supérieur des #Ÿ et par un décalage de ligne des facteurs w{. Donc, dans la série des modules comme dans la série elle-même, les sommes de ces colonnes diffèreront seulement par le facteur |uŸ| ou Ÿ. Il y aura donc convergence absolue si l’on choisit pour valeurs

des arbitraires u\? les termes d’une série absolument convergente. En posant

Ds = 0, + 0, eee ob ee a = a, a ee all, + ee et en remarquant que x, = a + 0 ee Had les valeurs obtenues seront à (17) NL Eu m1 On obtiendrait ces mêmes valeurs en donnant aux arbitraires les valeurs

ge ENS HU —X,, = u,

Nous supposerons que l’on a opéré de cette manière pour montrer que le résultat obtenu vérifie bien le système (2). On obtiendra la #°° équation (2) en additionnant membre à membre l'équation (5) et les équations (6) pour toutes les valeurs de Aa condition que les séries entre parenthèses dans les seconds membres puissent être additionnées en groupant d’abord les termes par colonnes. Il suffit donc de montrer que la série double formée par toutes ces séries est absolument convergente. D’après

les valeurs données aux 4, les formules (9) se réduisent à

(OR nr tb) (v—1) Has: 7 ve += y X, =

La série eŸ) qui figure au second membre d’une équation (6) se réduit à

(LR) (v—1) E FR UE an) X,

et, d’après les inégalités établies plus haut, la série des modules à une somme moin-

dre que k, k, PA k:, C(£,.,) LA C(,)T = D, px ML CS Dre ÉCDETA RE

Lorsque v varie, on a la somme des termes de même rang de deux progressions géométriques convergentes, et par suite, la série double converge absolument, c.Q.F.D. 4. Nous allons simplifier autant que possible les conditions imposées au cours du raisonnement. Nous trouverons une condition suffisante pour que l'inégalité (13) ait

lieu eu traitant la somme D Les Ve <Es e,d,d. DNS d, + e,d, AR d, 7 SP 4 = ps 44, + £r comme celle qui donne v®),. Posons SES A PE DONS RE AD ER NDS

! t, t, ee LE Es, G+5) (G+)=en 2 (+) (G+rin) Ep E, — E, (2. + 2) (D, + 4) Si l’on a as) E,=k, E. ,

(19) Dép ak GR ETS)

les inégalités (13) seront vérifiées pour toutes les valeurs de #. Si nous imposons aux % de décroître constamment à partir de k,, le rapport

16) I] est nécessaire de ne pas s’astreindre à prendre pour ÆE, le module même de «,, de façon à pouvoir supposer les E, non nuls et même variant avec une certaine régularité.

s6 PAUL FLAMANT.

eue) sera plus petit que 1, et les inégalités (20) DRE (Gi 2, 3, ...)

seront suffisantes pour que les inégalités (14) aient lieu. En additionnant membre à

membre plusieurs inégalités (20) consécutives, nous obtenons

D, Gi Dee nn <ENE Ne De Fo RUN A k,.

Ceci devant avoir lieu quel que soit g, et les k étant positifs, il faut avoir