FNCD I LED MS AE EUD CREME
En posant (21) k,—=e,+à,, les inégalités (19) et (20) se traduisent par E; :
(22) FRE Ps mr à, Z à.
Il suffit donc de supposer l’existence de nombres à,, de ..., positifs, décroissants
et tendant vers o, tels que les inégalités (22) soient vérifiées. Les nombres k sont alors définis par (18) et (21).
5. Supposons maintenant qu’il existe de nombres Ô remplissant les conditions précédentes, mais que l’une au moins des inégalités (16) n’ait pas lieu. On peut mettre de côté un certain nombre d’équations en tête du système, ce qui fait disparaître le même nombre d’inconnues. Le système restant est de même nature. S’il commence par la g* équation, les coefficients d.et e, et par suite les pb, à et k, sont les mêmes, mais à partir de l'indice g + 1, par analogie avec (18), il faut remplacer 4, par E,, la somme A, est remplacée par le reste A, de la même série; cette série étant convergente, et les k tendant vers o, il est clair qu’on peut choisir g assez grand pour que les inégalités
analogues à (16) soient toutes deux vérifiées. Le système ainsi restreint a donc une infinité de solutions données par des formules analogues à (17)
(23) Loir = Vins Win Xe (m=patt, ..).
En substituant ces valeurs dans les seconds membres des équations mises de coté chaque série se décompose en deux autres, dont la convergence résulte des inégalités
ER RENE DPRARRERRD ? 1 g q+1 “ ! TROIE (24) 12 . To Ris CC.) LR # Tes A,
Il reste donc à résoudre un système de g — 1 équations à g — 1 inconnues: il
admet évidemment une solution unique lorsque d,, d,, ..., d,, sont différents de o. Le système complet (2) admet donc une infinité de solutions de la forme (23) AIRE OA, 22 ne
Par suite des inégalités (24) et du fait que k, est plus grand que D, d’après (14), les valeurs trouvées vérifient des inégalités de la forme
NT EE pour n > q.
6. Je vais montrer que foute solution dans laquelle les valeurs des inconnues vérifient des inégalités de la forme
les h étant des nombres positifs tendant vers o, est l’une des solutions précédentes En augmentant les h s’il y a lieu, on peut supposer qu’ils sont de la forme
LNEEN ES
les & tendant vers o en décroissant, et étant au moins égaux aux d. Dans ces condi-
DR PAR ONE RS RE pour RE UN
tions, les h seront au moins égaux aux k, et satisferont comme eux aux inégalités (14). Il existe un entier g au moins égal à N tel que
Cr et RCD NES:
Le système (2) privé de ses g — 1 premières équations admet une solution (23) où x, a la même valeur que dans la solution imaginée. La différence des valeurs de chaque inconnue dans ces deux solutions constitue une solution du système homogène
Yan = RS (27) (m—=g+1,g+2, Yn+i = 4,3, —(c9, Ace ar Fous RAS PS 1e)
solution dans laquelle les valeurs des inconnues vérifient des inégalités de la forme
(28) He 7e AT LUE Fe h =
D’après ces inégalités, les parenthèses des seconds membres des équations (27) sont inférieures en module aux expressions
pee LME HI es h, Lie GES).
La 1è équation (27) donne donc Vol Ya Je Ch).
En utilisant cette nouvelle limitation dans le terme d (27), on 2:
Mise dr2Pnequaton
Lans) Dés Le Gba) + IR hi CCE)
FLAMANT. é
s8 PAUL FLAMANT.
et, d’après l’inégalité analogue à (14) vérifiée par les h (y He) K bis; k LRU C(h,.,) En continuant le raisonnement, on obtient en général Yusil 2 ge ne APR h,. PP Cp)
ce qui exprime que les inégalités (28) restent vraies si on y multiplie À par le facteur ES l de NHRCNE an b,,, C(h,.,) inférieur à 1; en répétant lopération, on pourra multiplier K par un facteur arbitrairement petit, ce qui prouve que les y sont nuls. Donc, à partir de x,, les inconnues ont la même valeur dans la solution imaginée, et dans la solution (23). Si l’on prend les g — 1 premières équations, les valeurs de x,, x,,,, ..., déterminent d’une seule manière x,, x,, ..., x,,; par suite, les solutions sont identiques. REMARQUE. — Lorsque les coefficients e sont nuls à partir d’un certaine rang #, le système (2) admet une solution dans laquelle les inconnues sont nulles à partir du
même rang.
Deuxième cas:. |d,| croît avec n.
7- Au lieu de prendre la solution générale (4) du système (3), nous lui appliquerons la méthode des réduites. En supprimant les équations et les inconnues de rang supérieur à p, on a un système qui se résoud immédiatement à partir de la dernière équation, en supposant les d différents de o. On obtient:
1 NNEe pi b ?
NE D CR En p ) pi SEE) der 5 oc d, CAC AURA 1 UNE A HO d,d,., … à, En faisant croître p indéfiniment, on est conduit à poser e =, NUS RAP Enr APRES n , x EON2 1 pose, d, d,d,., En supposant conversente la série e e € (29) ENS ET ee ne LT EUR RCA DEAN RER d, dd, d,d, ... 4, et en appellant r,, r,, ..., les restes successifs, le résultat s'écrit:
NT
(GO) sms el PA NN PER Gate FLORENT d'ADN RREE
ce qui constitue bien une solution de (3); on pourrait l'obtenir en faisant x, — s dans les formules (4). |
Pour le système (5) et chacun des systèmes (6), nous prendtons la solution fournie par cette méthode. Soient R, des nombre positifs décroissants respectivement supérieurs
aux fr,|; si la série (29) est absolument convergente, on peut prendre les restes de la série des modules. La solution de (5) vérifie les inégalités
