E;,, D (36) ED
8. Je vais démontrer que, dans le cas présent, la solution obtenue est la seule dans laquelle les valeurs des inconnues satisfont à des inégalités de la forme (26).
Pour un système simple, les formules (4) montrent que les différences des valeurs des inconnues dans deux solutions distinctes sont de la forme
HIS = Ua (EX es AU A re Contes
Par suite, s’il existe une solution vérifiant des inégalités de la forme
pl Z KD,,,D
METÉ
RAS DSL pour AN UN
l, tendant vers o pour # infini, une telle solution est unique. C’est le cas pour la solution fournie par la méthode des réduites lorsque la série (29) converge.
Revenons au système (2) et imaginons une solition satisfaisant aux inégalités (26); en augmentant les h si c’est nécessaire, on peut supposer qu’ils vont en décroissant et sont au moins égaux aux À de même rang. Posons alors
Ry., — R; , (37) DY,, Re) DE LP et tr du b, ( = N+2,N+ 35 -...) les R' ainsi définis sont au moins égaux aux R, et les égalités (37) sont semblables aux inégalités (32); tout ce qui précède subsiste donc en remplaçant à partir du rang N+17 les R et les À respectivement par les R' et les b. D’après (35), la solution obtenue vérifie
xl 1 bn, by PTE h
et par hypothèse, la solution imaginée vérifie (26) qui a la même forme. La différence de ces deux solutions est une solution du système homogène
(38) Vasir— 4,3, os (NE = LE PTE CET Chop An RATE ) et vérifie des inégalités analogues; soit X'' leur coefficient.
En remplaçant dans les seconds membres chaque parenthèse par sa valeur effectuée, on obtient un système simple, que vérifient encore y, ,y, ,...y,,... La valeur de la parenthèse effectuée est pour un rang assez élevé, inférieure en module à
E, LE HS br, bx., AS h, hze Ch,
ce qui montre immédiatement que la série analogue à (29) est absolument convergente. Il résulte des égalites (37) que
(39) K"hx., br, d'a b, = KVDY, De ue D, Ke
Cette nouvelle forme donnée à la limite supérieure de |y,,.| permet d’affirmer que les y constituent, pour le système simple envisagé, la solution fournie par la méthode des réduites.
D’après la valeur de (,, on a:
D,5,.. D, Kb COLDR, < Ki bn CGR,
On peut donc majorer le reste de cette série par
&, = K° br, CCbx,,)CR, je AR a» Ex ) Earséne entre parenthèses étant comparable à une série géométrique, on aura:
Gr K, by, Cv, )R,.. = ie bn, C(bx..) LA ' de p “ p D
n+2 n+2 nrI 1 — 1
La solution donnée par la méthode des réduites satistait à pee 2 D, dr CE D, &,
Le rapport de cette nouvelle limitation à l’ancienne [second membre de (39)] est
donc, à un facteur constant près, FR? qui tend vers O0. À partir d’un rang assez élevé,
mais bien déterminé, on peut multiplier par un facteur plus petit que 1 la limite supérieure de |y,| sans qu’elle cesse d’être valable. L'application réitérée de cette opération montre que, pour ces rangs élevés, les y sont nuls. (38) se réduit donc à un système d’un nombre fini d'équations linéaires homogènes au même nombre d’inconnues qui n’admet pour solution que la solution xéro.
PAU L'LF/L'ATM/A"NATS
(ex Le]
Conclusion.
g. Dans les applications que nous avons en vue, les coefficients du système (1) suivant les lois indiquées au n° 1, D, se comporte comme # quand # croît indéfiniment.
Le premier cas correspond donc à [5] <T 1 et le second à fo] = 1. Les inconnues x doivent être, comme les termes connus b, les coefficients d’une »
fonction entière. Pour qu’une suite de nombres #, soit dans ce cas, il faut et il suffit
VPereeLe que Ÿ/u,| tende vers o, ou que — Le 1 —— [2,,| 49 lim A FRA:
On peut remplacer les x par des ® qui tendent vers o en décroissant (en appelant ; 9 Lys .
par exemple 6, la borne supérieure de «,, «,,,, ...); on a donc
Fe le] Z P, et, a fortiori
(40) 4,122 8,6, -.. bp,
Si ces inégalités ont lieu à partir d’un certain rang, les # sont les coefficients d’une fonction entière, d’après la règle de d’ALEMBERT. C’est ce caractère que nous allons utiliser.
D’après lui, les solutions qui nous intéressent sont celles qui vérifient des inégalités de la forme (26). Les solutions trouvées sont acceptables d’après (25) (1° cas) ou (35) (2° cas), et ce sont les seules. Reste à voir si les hypothèses faites pour appliquer les méthodes de résolution sont bien réalisées. \
Dans le premier cas, en majorant les b, sous la forme (40), on peut prendre
ni
: lg, puisque AT Et b, Nr £, à On a alors E, pe il == B, EC : gl (5 ,
ce qui permet de choisir des à satisfaisant aux inégalités (22). Dans le second cas D, croît indéfiniment comme #. Dans la série (29), le module du terme général est moindre que
He 1 AVE PRE)
D'D EDS IRD
terme général d’une série convergente. La série (29) étant absolument convergente, on peut appliquer la condition (36); l'existence des À décroissants et tendant vers o est
assurée pui Di.
puisque 5 tend vers 1.
