CHAPITRE IL
LE TERME (x) ADMET L'ORIGINE POUR POINT SINGULIER.
Le cas le plus simple est celui où b(x) est uniforme autour de lorigine et où ce dernier point est un point singulier isolé (pôle ou point essentiel).
Pôle ou point essentiel isolé. Solutions iogarithmiques.
1. L’analogie avec l’équation différentielle obtenue en faisant 6 — 1, aussi bien que l’analogie avec le cas où b(x) admet un pôle hors de l’origine, nous conduisent à penser qu'il existe pour l’équation
© FC) = GE) +50) quand l’origine est un pôle de b(x) une solution de la forme
JC) = #0) + Ÿ (x) log x Y(x) étant une fonction holomorphe dans le même domaine que a(x), et p(x) étant une fonction, uniforme dans ce domaine et pouvant avoir l’origine pour pôle.
La fonction f(x) étant multiforme, il faut bien préciser ce que nous entendons en disant qu’elle vérifie l'équation. L'interprétation donnée (n° 7, ch. I) pour les fonctions multiformes déjà rencontrées n’est pas applicable ici, car la fonction actuelle ne provient pas, par prolongement, d’un élément (uniforme) qui vérifiait déjà léquation. La fonction ayant pour seul point critique l’origine, nous adopterons l’'interprétation suivante, qui est la plus naturelle. Soit S une ligne joignant le point d’afhixe 1 au point d’affixe « sans passer par l’origine. Nous dirons qu’un élément de la fonction f(x) au point x et un élément au point 6x sont associés s'ils se déduisent l’un de
l’autre par prolongement le long du chemin Sx semblable à S. Ce sont les éléments associés qui doivent être liés par l’équation (1). Il est clair que la ligne S n'intervient pour déterminer le mode d’association que par son enroulement autour de l’origine (il n’en serait plus de même pour une fonction ayant d’autres points critiques que l’origine). Le choix de S se traduit analytiquement par le choix d’un argument déterminé pour & (la rotation du rayon vecteur d’un point parcourant S); c’est le logarithme correspondant qui figurera dans les formules. Au point-de-vue où nous nous plaçons maintenant, équation (1) est complètement définie par la donnée de log s et non pas seulement de c.
