Pôle multiple. Soit l'équation
© fG=aG(E) +2 RU
Par analogie avec le cas analogue (n° 14, ch. I) nous ferons le changement de fonction inconnue
fG) = FG) + 2
et nous chercherons À déterminer les coefficients c,, c,, ..., c. de telle manière
ue l’équation qui détermine F(x) soit du type (2). Cette équation est q q YP q
(n — PRE 2 I AE des gi MENT va
ADF) (ee EE) ee de ace
La fonction jouant le rôle de b(x) admet un pôle à l’origine; en posant
(x) = 8, + ax + ae + ee axe, les puissances ont pour coefhcients :
RAT De sc Due Pace PE EURE 2 b+ic<+a sc, + a, oc, +... + CR Gr Cons be: b, + 2 ©, #10 CAE £, ne Ps + GE LAS ARE
Pod 6 D en Enr
En égalant à o les # — 1 derniers coefhicients, on obtient un système de #— 1 équa-
tions linéaires à n — 1 inconnues qui admet évidemment une solution unique (la dernière déterminant c,,, l’avant dernière déterminant ensuite c,,, etc.). L’équation peut donc, par cette méthode, être réduite, d’une seule manière, à une équation en F(x) qui sera en général du type (2). Elle pourra être du type régulier étudié au chapitre I lorsque les valeurs c,, c,, ..., c,, ainsi définies annulent le premier coefficient.
On aura pour F(x) une solution de la forme (3) dans laquelle 4(x) peut être nulle. En réunissant dans f(x) toute la partie uniforme, la solution peut s’écrire de la même manière; mais alors @(x) désigne une fonction holomorphe sauf à l’origine qui est pour elle un pôle d'ordre n — 1.
4. Point singulier essentiel. — Dant le cas où b(x) admet l’origine pour point sin-
gulier essentiel, la partie principale étant
nous pouvons employer la même méthode. Le changement de fonction inconnue
FLAMANT. 9
réduira l'équation à la forme (2) si les coefficients c, vérifient le système d'équations linéaires
b,+ic +a sc, +a,cc, + -.: + a,,c, + Ne (7) b, AE Det er ee a | ; pe
b, 5e (UE 1) CE DE a,5"c, de His MONS ETS PAR O
S'ils vérifient en outre l’équation
(8) base, acc, Ha,oc, + +. Ha, cc, + ++: =, l'équation sera ramenée au type régulier, et il n’y aura pas de terme logarithmique. Ce système (7) est du type (1) du chapitre IT, et pourra se mettre sous la forme (2) de ce chapitre pourvu que 4, ne soit pas nul. Toute solution du système (7) permet de faire le changement de fonction inconnue; on obtient alors pour f(x) comme pour F(x) une infinité de fonctions dépendant d’une constante arbitraire et qui se déduisent de l’une d’elles en lui ajoutant la solution générale régulière à l’origine de l’équation homogène (4). Nous dirons que ces solutions ne sont pas distinctes, en appellant solutions distinctes des solutions dont la différence n’est pas une fonction holomorphe. L’équation
nn
(0) ROPCON ES ENOE EEE
admet donc, si a (0) =<o, une infinité de solutions distinctes de la forme (3) lorsque ls! est plus grand que 1 et une seule lorsque [o| est égal à 1, 4 (x) étant toujours régulière à l’origine et o(x) ayant en général un point singulier essentiel.
La méthode et la conclusion sont applicables au cas du pôle; dans l’une des solutions ou dans la solution unique, l’origine est seulement un pôle de œ(x) (c’est la solution obtenue au n° précédent).
LE
Pôle ou point essentiel isolé. — Solutions uniformes.
5. Pour qu'une des solutions soit uniforme, il faut et il suffit que l’équation (8) soit vérifiée par la solution utilisée du système (7) Dans le second cas (la) == 11), cela peut avoir lieu exceptionnellement pour l’unique solution. Dans le premier cas Colt), cela aura lieu généralement pour l’une des solutions. En effet, les c sont linéaires par rapport à celui d’entre eux c, qui est arbitraire; en substituant leurs expressions dans
Sete HPATNTE .
l'équation (8), on obtient une équation linéaire en c,, qui admet une racine et une seule, en général.
REMARQUE. — Lorsque |s| est plus grand que 1, l'existence pour la même équation (9) de solutions distinctes entraîne, pour l'équation homogène (4), l'existence de solutions ayant l’origine pour point singulier, et en général pour point critique. Par suite les équations à coefhcients réguliers admettent, non seulement les solutions régulières étudiées au chapitre I”, mais encore des solutions singulières à l’origine de la forme (3) (c’est à dire généralement multiformes); elles dépendent d’une constante arbitraire. Nous verrons d’ailleurs que l’équation homogène admet un ensemble très riche de solutions multiformes. Par suite, pour une équation à coefficientes uniformes, il y a intérêt À se restreindre aux solutions uniformes: le mot solution a alors un sens simple et net, et
ces solutions comportent beaucoup moins d’arbitraire.
LLT:
Point critique logarithmique.
