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L’équation (11) admet une solution holomorphe prenant à l’origine une valeur arbitraire. Pour que l’équation (12) soit régulière, il faut et il sufht que 4 (x) s’annule à l’origine. On a alors pour o(x) une infinité de fonctions dépendant d’une constante arbitraire.

Si dans l’équation (10), c(x) admet à l’origine un pôle où un point singulier essentiel non limite de pôles, l'équation (11) admet en général, quand |5| est plus grand que 1, une solution uniforme ayant à l’origine un point singulier essentiel. Le terme connu (x) de l'équation (12) admet l’origine comme point singulier essentiel. Lorsqu’on remplace Ÿ(x) par une autre solution de (11) non distincte de la première, sa partie holomorphe seule est changée; par suite, dans l’équation (12), le changement de b(x)

ne porte que sur la partie holomorphe et le terme en ——. Considérons une solution du

système (7) attaché à l’équation (12); en remplaçant s'il y a lieu Ÿ(x) par une solu- Jion non distincte, l'équation (8) sera vérifiée par la solution considérée; pour chaque solution uniforme de (11), (12) aura donc une infinité de solutions uniformes. On a

finalement des solutions de la forme (3) où o(x) et (x) sont des fonctions uniformes À point singulier essentiel. La possibilité pour deux solutions de différer dans (x) par la partie principale et dans 4 (x) seulement par la partie régulière était à prévoir comme conséquence de l'existence de solutions multiformes pour l’équation homogène.

7. Lorsque l’origine est pôle ou point essentiel de c(x) on peut aussi chercher des solutions de la forme

(13) SG) = 9) + LG) log x + 4 (x) log” x

o(x), (x) et x (x) étant des fonctions uniformes. On a

FO = #0 + +4 60 + og x + 7 (aDlog! x

DANCE CE ++) 2e ) 8: cJogx+2(5 } log” x

Il faut et il sufht que p(x),4(x) et x (x) vérifient les équations

Ga) = (+)

QD) VO = af) 4 2067 (E) loge + (5)