Soit l’équation Q) HOETOTES ETOREES

Nous supposons 4(x) et b(x) holomorphes dans un domaine D fermé, simplement connexe, et possédant les propriétés suivantes.

Soit x l’affixe d’un ponit quelconque de D, le point d’affixe appartient aussi à

) P. FLAMANT, Sur une équation différentielle fonctionnelle [Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, t. 178 (1° semestre 1924), pp. 60-62], et Sur la forme des solufions d'une équation différentielle fonctionnelle [ibidem, t. 178 (1°° semestre 1924), pp. 1595-1597].

D, et ces deux points peuvent être joints par un chemin situé tout entier dans D et de longueur inférieure à un nombre fixe /. L'origine appartient nécessairement à un tel domaine D, mais elle peut être aussi bien un point de la frontière qu’un point intérieur. Nous supposons enfin que tout point de D peut être joint à l’origine par un chemin situé dans D et de longueur inférieure à un nombre fixe L.

Nous cherchons à déterminer une fonction f(x) holomorphe dans D et prenant une valeur numérique donnée c, pour x = o.

L'ensemble des conditions imposées à la fonction f(x) par léquation (1) et la valeur initiale peut s’exprimer par la seule équation

@) FO =c+ f [ecor(Æ) +60 lé

le chemin d’intégration étant situé tout entier dans le domaine D, et n’ayant, par suite de lholomorphie des fonctions, aucune influence sur la valeur de l’intégrale.

Cette équation (2) est une équation intégrale linéaire qui pourrait se ramener à un type classique en faisant le changement de variable d’intégration Te y. Cest cette y (e]

équation (2) que nous allons résoudre par la méthode classique des approximations successives. 2. Soit g(x) une fonction arbitraire, holomorphe dans D. Posons

LaO=a+ flaos(+)+5@ la

AG=e+ [[acor(Æ) +50 lé An an Ut CU ARE it

Le =c+ f [ro ()+5@le

ee, ‘ein Ja let Let. Ce + ele ie 07 ele an te ue ie lin Lee se

les intégrales étant prises le long d’un chemin y situé dans D. Lorsque le point x

décrit y, l’argument de la fonction g(x) dans la première intégrale, <., décrit un che-

min À 9) situé dans D, d’après l’hypothèse faite au n° 1; la fonction intégrée est donc G

bien holomorphe dans D, l'intégrale est indépendante du chemin y pourvu qu’il soit

9) F désignant une figure quelconque tracée sur le plan de la variable complexe 7, je désigne par Fo, Se , F + b, etc., les figures obtenues en appliquant à F l’homothétie-rotation, la translation, G

etc., qui traduisent gémétriquement la multiplication ou la division par ç, l'addition de HANetC:

tracé dans D, et la fonction f(x) définie par la première relation est holomorphe

dans D. Pour la même raison, f(x), ... f,(x), ..., existent et sont holomorphes dans D. Pour établir que f(x) tend (pour # infini) vers une fonction f(x) satisfaisant à équation (2), il est commode de regarder f,(x) comme la somme des # premiers

termes d’une série, en posant:

u, (x) = f,(x) ui. (x), NAS 4, (x) = f,,, (x) — f, (x), 3 de sorte que (4) LG)= fx) + a, Q@) + mx) + ee + 4,0), D’après les relations (3) qui définissent les f, (x), les w,(x) peuvent être détermi-

nées par

(5) = [ao (Æ) ef) ex

Jo RL a (6) = fa@u(Æ)éx pour # DS 2

Tout point x, de D peut être joint à l'origine par un chemin y de longueur moindre qu’un nombre fixe ZL (n° 1). Considérons l’ensemble T des points des chemins