Ÿ D NUM NET

(si o est une racine de l’unité, ces chemins sont en nombre fini). Les fonctions f, (x) et w,(x) peuvent être obtenues en tous les points de cet ensemble en prenant les intégrales des formules (3), (5) et (6) le long de ces chemins. 7 désignant un point de lun d’eux, y(z) désignera Parc Ox de ce chemin et s5(7) sa longueur. En effectuant une homothétie-rotation on voit que l’on a:

Z représentant le module de 0. |

Les fonctions 4(7) et f. (=) — (=) étant holomorphes dans D, sont bor-

nées en module: EQ<4 (+) -e(<) <x Il résulte de la formule (5) que l’on a:

ke, GS) Z ï Æ@r (+) -e(£)

Pour appliquer la formule (6) au cas de # — 2, nous avons besoin d’une expres-

ds(x) < M. A5s(x)

u, (=) << M.As (©) e D A5,

sion simple limitant supérieurement

On a alors:

MG f OI

d’où :

De mème, on trouverait en général:

SJ. 45 @4 T4: Qo] = 45

M <a (2)] = tar

(2) 46 Se

G On a ensuite:

GIZ pl.

ds) are Le [45()F d[A4 = lAs (x)P

M n [u, (x) < EEE [A s(x)]".

s(x) étant toujours moindre que Z, on a, quelle que soit la valeur de x dans D:

lu, (x) < HIS ni à

La série qui admet u,(x) pour terme général est normalement convergente dans D *). [On voit que la série de comparaison converge très rapidement lorsque Y est grand]. f,(x) étant, d’après (4), la somme des # — 1 premiers termes de cette série et de f(x), elle converge uniformément vers une fonction limite f(x) holomorphe dans D. La convergence étant uniforme, on peut faire croître # indéfiniment et passer à la limite dans les relations (3), ce qui montre que la fonction obtenue f(x) vérifie équation (2).

Dans le cas où X est plus grand que 1, on peut n’avoir qu’un seul chemin d’intégration on choisissant y de telle sorte que soit un arc de y. Je désignerai par C G

un tel chemin. Il est aise de voir que tout point x, de D peut être atteint par un che-