XL. par une ligne c dont la lon- G

min C. Par hypothèse (n° 1), on peut joindre 7, et

10) Cette locution, due à M. RENÉ BAIRE, signifie que les modules de ses termes sont inférieurs à des nombres positifs formant une série convergente.

FLAMANT. 2

gueur est moindre qu’une longueur fixe /. En réunissant les lignes

on relie x, à O par un chemin C, dont la longueur est d’ailleurs inférieure à un nombre L indépendant de x.

Si Z était égal à 1, le chemin C n’aboutirait plus à l’origine et ne pourrait plus être utilisé.

3. La solution du problème posé au n° 1 est unique. En effet, si deux fonctions vérifient l’équation (2), leur différence vérifie léquation homogène

(8) C9 = Jr (<)4x

Il s’agit de montrer qu’une telle fonction est identiquement nulle.

Considérons d’abord un ensemble de points f comme au n° précédent. Nous allons établir qu’une fonction ®(x) satisfaisant à l’équation (8) sur T est nulle sur F, ou tout au moins sur la partie de l voisine de l’origine.

Soit h un nombre positif, l'(h) l’ensemble des points z de l pour lesquels on a

CNT ES PAU

et & la borne supérieure de [p(x)| sur l'(h). Pour tout point x de l’ensemble T'(h).c [qui coincide avec T(£h), d’après la formule (7)], le chemin d’intégration y(x) fera partie de (2h), et l'argument + de la fonction ®(x) dans l'intégrale restera sur T(h). Par suite:

(9) p(x)|2Z Aus(x) ZvASh pour x sur F(Zh).

Le nombre h peut être choisi de manière que le membre de droite soit plus petit que &; il suffit que

AS he Lio be .

(ce choix ne fait pas intervenir la valeur de w). En donnant par exemple À b la valeur

> 45 trouve que la borne supérieure de (7) sur T(Zh) est +. Si p n’était

pas nul, cette conclusion serait absurde puisque T'(Zh) contient F'(b); donc y est nul. , RCD NME QU 4

Le MR CR pour établir linégalité (9) permet de passer à T(£*h), ...

..., F(2"h); p étant nul, on en conclut que o(x) est nulle sur tous ces ensembles.

Lorsque 2 est plus grand que 1, on peut englober ainsi tout l'; au contraire lorsque

ce ; ; è UE L s k :

È est égal à 1, la conclusion ne vaut que pour De h devant être inférieur à

I ; 7? Mais pouvant s’en rapprocher autant qu’on veut.

SUR EYE mnaéréité PP TEREE FONCTIONDILLE LINÉAIRE, #1

d'u les le ice ei niv |

L° 2 Ham supérieur À 1, on choisit un chemin C pour lensemble F. =

L os en une racine de Vunié; dans ce cas les chemins considérés sons en norn- 1 bre foi ;

La fonction g(x) envisaghe 25 début du présent n°, es holomorphe dans D « vérifie Véquaton (5). Esant nulle sur un ensemble l'(b) qui comprend des lignes, dle ent nulle dans tout le domine, et les deux sohtions imaginées coincident

Mais on peut sffirmer davantage, Imaginons une fonction g(x) solution de Yéquaton (1) et qui tende vers c, lorsque x tend vers o sur T, l'existence et lholomorphie de gx) n'ham plus supposbes ans tout Le domine D, mais seulement dans un do-

maine D' comensnt la partie de T voisine de Vorigine “) Désignons par f(x) la s0ltion holomorphe dans D déterminée 20 n° 2. La fonction

+) =J0) —-:@ saisis encore à Véquation (5) sur T'; elle est donc nulle dns D' ob dlle est supposée holomorphe; son domaine d’exisience s'est donc pas lnié 3 D',. La fonction 7(x) cine et coincide avec f(x) dans tout Le domaine D.

4 Reuseoyr., — Dans les raisonnements qui précédent, l’holomorphie des fonctions données a(s) « hs) es de La fonction asbirsire g(x) servant de point de départ pour Les approximations successives] dans D est imervenue de deux maniéres: d'abord par Vindbpendance des intégrales vis à vis du chemin d'imégration, puis par le fa que ces fonctions éisent bornbes dans D. Ces fonctions peuvent donc avoir pour points soguiers des points de La frontiére de D pourvu qu’elles restent bornées au voisinage de ces pois, Par exemple, le théoréme d'exisience s'applique 4 l'équation

ra=7"1(E) +50

- à dant un nombre rédl et positif; le domine D érans le demé-cercle défini par Hs] CR, parde rhelle de 3 = 0; (x) éant un polynôme, où une fonction entiére, ou encore

+ un polynôme par rapport À € &”

I s'applique encore au cas ob 4(7) « (x) on l'origine pour point crisique Alsébrique « y prennent une valeur finie, le domaine D ésam un cercle de cemre À coupé suivant un chemin C (coupé suivent un rayon lorsque s est réel es positif).

A s Géxéasssswnions, — Le méthode préchéente peus s'appliquer 2 des équations ou D tons je paires.

PAP 38) Pur exemghe, I pes ice La portion ds ples balyée pas wa pris cesde ve de Tongs 500 | »n 20ge conan lorsque son cesase décris V'(}

HA | 1° La fonction f(x) peut intervenir par sa valeur en plusieurs points —) €t même

en une infinité de points. Soit l'équation

(10) HOPTOETOUES }+2,@y( )+e +a@/(E Je

où

= ED 1, LA NPA APE Te

Pour simplifier, nous traitons le problème dans un cercle de centre O; toutefois si les &, sont des puissances d’un même nombre 6, on peut prendre le domaine D défini au n° 1. Nous supposons b(x) et les 4(x) holomorphes dans ce domaine, ces dernières formant une série normalement convergente (ce qui est toujours réalisé quand le nombre des termes est fini).

Envisageons la formule définissant la première approximation :

Lot f Lo+e@e(E) +202) + +acoe( =) + lé

Les points -X., Æ., A a. L., ... restent dans D lorsque z décrit le chemin d’in-

tégration; si la fonction g(x) dont on part est holomorphe dans D, la fonction intégrée reste inférieure à

B+ (A+ A++ 4 +36 = B+ AG chaque grande lettre désignant la borne supérieure du module de la fonction corres-

pondante.

La fonction f (x) est donc elle même bornée

GIZ le] + CB + 4G)L et il en est de même pour f,(x) — g(x). La convergence des approximations successives et l’unicité de la solution se démontrent comme aux n°* 2 et 3, en évaluant comme ci-dessus le module de la série à intégrer. Ç 2° On peut traiter de la même manière un système de # + 1 équations 4n +1 fonctions inconnues du type

(1) = ES an (E -) + 2,6 Ne LE à

En posant dr À; — max |a,,(x)| dans D,

on supposera convergentes les séries:

A; +4; me A Rares NE

et on raisonnera exactement comme ci-dessus.

SUR UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE FONCTIONNELLE LINÉAIRE. 16e

Le théorème d’existence est par suite établi pour une équation d’ordre supérieur au premier. L’équation du second ordre

FO = a (E) +5@ (€) +c0 par exemple, se ramène au système:

RCE ;0) ROETONES ETOIES ETS 3° Lorsque les équations et les fonctions inconnues sont en nombre infini, la mé-

thode s’applique encore en faisant certaines hypothèses de convergence. Soit le système

(12) FE > a (9, (E -) +2, CERN soit me

ijk

x [a (x)] dans D Nous supposons convergentes les séries AL, a Nu Hide En

comme dans le cas précédent; mais en outre nous supposons que leurs sommes satisfont aux inégalités:

7 en le € PAS Lu ae AE ce Z a;b;, FN te Pos Bis ++. PB, -..,

étant deux suites de nombres positifs telles que la série

AR, + ab, + ab + ee

PACS

soit convergente.

Les fonctions b.(x) sont assujetties à vérifier dans D les inégalités

Ib, Cx) << B«,

B étant un nombre fixe.

Nous n’envisageons que les solutions définies par des valeurs initiales c, — f.(0), faisant converger la série: