CORSA D PP

Formons les approximations successives à partir d’un système de fonctions g,(x) holomorphes dans D et dont les bornes supérieures G; font converger la série

La première approximation sera définie par :

an O8 (Æ) +8@ Jr

Les points — sont toujours dans D; en évaluant par excès le module de la fonc- [o] k tion à intégrer, on peut écrire

DES ANAE

S(S4)6,+ 84 = ab,6, + Ba, = (6 + Ba j=0

Donc ae ee :

max |A) Z [cl + (G + B)La,

La propriété de convergence imposée aux g,(x) appartient aussi aux fl” (x), car en multipliant les deux membres de cette inégalité par 6. et en additionnant membre à membre les inégalités analogues, les termes du second membre engendreront deux séries suppostes convergentes. Les f(x) pourront être utilises comme les g.(x), et les approximations successives pourront toujours être poursuivies. Pour établir leur convergence, remarquons que, d’après ce qui précède, en appelant M. la borne supérieure de

LFP (x) — g, (x), la série M'= EM +8. M +... SOMMES est convergente.

Dans la formule

u® (x) = | S Sax @f(EŸ-E, (=) ex.

évaluons le module de la fonction à intégrer comme dans la formule de f{(x), nous voyons qu'il est inférieur à Mx,, et que l’on a, par suite,

WG) Z Ma,5().

Prenons la formule 4@= f Eau (ZE) O j—=0 k=0

Pour toutes les valeurs de la même fonction u® (x) qui figurent dans l’intégrale, on 4:

(am (5) 2m

En utilisant cette expression indépendante de l'indice #, mais dépendant de x, à la place de la borne supérieure M; dans le calcul précédent, on trouve

et, en continuant ainsi,

L,,(# M [45 J#; (x) Fa A #4 Pr TT à

Pour chaque valeur de l’entier i, la série qui a w!/(x) pour terme de rang # est normalement convergente. On peut donc poser

LG) = FC) + 27 C9) + 7 CG) + Ha G) + >

Pour toutes ces séries, les séries de comparaison ne différent que par le facteur z,; de telle sorte que, & étant arbitrairement donné, il existe un entier N tel que lon ait:

(n) \ AG) —fGNZes pour #5 N quel que soit x dans D. Grâce à cette remarque, nous allons montrer que la relation

(:3) fo=c+ (IST (EE) +50 dx

devien "LU 4 Lo=a + [TE Emo (SE) +a0o]e

qui exprime que les fonctions f.(x) constituent une solution du problème post. Le premier membre de (14) est la limite pour # infini de celui de (13); pour démontrer légalité (14), il suffit de montrer que son second membre est la limite de celui de

(13). La différence de ces expressions est ÈS {(#—1) 2% 4) ÿ ( Gy ] Fe

j SE (

Evaluons toujours de la même manière le module de la fonction à intégrer

5 (54 }e+, = Ÿ'afjea, — ea S ab, — Aea,

j=0 j—0 et l’intégrale elle-même est moindre que À Lex,, quantité arbitrairement petite, C. Q. F. D.

Si l’on n’envisage comme solutions que les systèmes de fonctions dont les bornes supérieures M, rendent convergente la série

PM TT PME ur: + $,M, + VI dans tout le domaine, la solution est unique. Cette condition de convergence est ana-

logue à celle qui a été imposée aux valeurs initiales et aux fonctions g,(x) à partir desquelles on a calculé les approximations successives.

Imaginons deux solutions distinctes; en retranchant les fonctions correspondantes, on obtient des fonctions ®.(x) vérifiant la même condition de convergence, et solutions

du système d’équations homogènes

?,(x) — 1e > aa ( (2) dx.

Soient a, m,, ess. les modules maximaide 0 (F0 GERS RUES dans un cercle de rayon h; en raisonnant toujours de même, on voit que, dans ce

cercle

(PC) ba, = Bu, + Bu + Hu (la série converge par hypothèse); donc

u, Zyha,

en posant

d’où en multipliant par 8, et additionnant Le = Fe Ab,

si h est assez petit pour que 4h << 1, il faut avoir w — 0; comme les termes de la série sont tous positifs, on en conclut que