Tout point de la classe Y est un point frontière isolé

Soit M un tel point; supposons que M ne soit pas un point frontière isolé, c’est-à-dire qu'il existe une suite de points frontières { M;} tendant vers M. D’après le lemme des deux points (n° 16), les projections de M sont du même côté que M par rapport au plan médiateur Il; de MM;; si donc on extrait de la suite { M; } une suite partielle { M; }tendant vers M, pour laquelle les plans médiateurs { II; } ont un plan limite II, on voit que ce plan IT passe en M et que toutes les projetantes de M sont d’un même côté de Il, ce qui est contraire à la définition d’un

point de la classe y (n° 33).

36. Tout point de la classe à est un point frontière extérieur (donc non isolé).

Soit M un tel point; d’après sa définition (n° 34), on peut trouver un hémisphère #€ de Sf dépourvu de projection de M. Nous allons démontrer que tout point P, pris sur l’axe MX de 4 (dirigé vers 4€) et suffisamment voisin de M, est un point extérieur, c’est-à-dire que la sphère Sf laisse à son extérieur tout l’ensemble E (critère de position, 3°; n° 13).

Supposons le contraire. Alors il existerait sur MX une suite de points { P;} tendant vers M, tels que toute sphère Sf, posséderait inté-

SRE

rieurement ou sur sa surface au moins un point À; de E. Aucun point de E n'étant intérieur à la sphère S£ (critère de position, 2°; n° 13), les À; seraient situés dans la région non intérieure à Sf et non extérieure à S£,; or, quand P; tend vers M, cette région a pour limite l'hémisphère #€ et la suite infinie { A;} aurait au moins un point d’accumulation À, qui ferait partie de E (puisque E est fermé) et qui serait situé sur &€, contrairement à notre hypothèse.

37. Pour un point de la classe B, il y a doute : un point (6) peut être soit un point frontière intérieur isolé, soit un point frontière intérieur non isolé, soit un point frontière extérieur.

ExempLes. — 1° E comprend deux points À et B avec AB—29; le point de contact des deux sphères est un point frontière dont le système des projetantes est un couple de rayons opposés, donc un point (B) qui est point frontière extérieur.

2° E est formé des deux bases opposées d’un parallélépipède rectangle de hauteur 29 : le plan équidistant de ces deux bases contient un rectangle tout entier constitué de points frontières à deux projetantes opposées ; le centre de ce rectangle est donc un point (B) qui est point frontière intérieur non isolé.

3° E comprend la surface de deux sphères de rayons 2p et de centres À et B avec AB — 29; le milieu de AB est encore un point frontière à deux projetantes opposées, qui est point frontière isolé.

Ces exemples montrent que la connaissance des projections d'un point (B) ne renseigne pas sur la nature des points infiniment voisins. À l'inverse de ce qui se passe pour les classes & et y, les projections d’un point (6) ne suffisent pas à caractériser le voisinage de ce point.

38. Avant d'aborder l'étude du contingent, où va s'accentuer ce caractère des points (B), nous donnerons une remarque fort simple qui sera bientôt utilisée.

Un point M étant de la classe «, toute circon férence de grand cercle de la sphère Sf a une demi-circon férence (extrémités comprises) dépourvue de projection de M.

C’est la demi-circonférence située du côté opposé aux projetantes de M, par rapport au plan IT qui intervient dans la définition d’un point de la classe « (n° 33).

CC Es

Il. — La recherche du contingent.

39. Définition. — La notion de contingent est due à M. G. Bouligand qui en a tiré diverses applications, notamment pour obtenir un procédé d'intégration généralisée de l'équation aux dérivées partielles d'Hamilton-Jacobi (*).

Le contingent en un point d’accumulation M d'un ensemble donné 6 est l’ensemble limite ® d’une suite d’ensembles { D;} constitués respectivement par le faisceau des demi-droites joignant M à tous les points de & intérieurs à la sphère Si, la suite des rayons ! £;} étant décroissante et tendant vers zéro (°). On démontre aisément (*) que le contüingent est encore l’ensemble des demi-droites MT telles qu'il y ait une suite { M;} de points de & tendant vers M de manière que les angles GRO) | M;MT | tendent vers zéro. Une telle demi-droite MT sera une demitangente de l’ensemble & en M ou encore un rayon du contingent en ce point, et l’on pourra la caractériser en disant qu'il y a au moins un point, distinct de M, de l’ensemble considéré 6 dans tout cône circulaire droit de sommet M et d’axe MT, étant entendu qu'il s’agit d’un cône circulaire droit d'ouverture et de hauteur arbitrairement petites. C’est de cette dernière définition que nous nous servirons le plus souvent.

() G. BouziGanD. Expression générale de la solidarité entre le problème du minimum d'une intégrale et l'équation correspondante d'Hamilton-Jacobi (Rendiconti dei Lincei, juillet 1930).

(2) Cela signifie que toute demi-droite du faisceau ® est la limite unique d'une suite de demi-droites appartenant respectivement à chacun des faisceaux ®; et que, de plus, toutes les demi-droites limites de telles suites appartiennent à ®. Cette définition est la même que celle considérée plus loin à l’aide de la notion d'écart (fin du n° 76). L'ensemble ® est ainsi l’ensemble d’accumulation, ou indifféremment l’ensemble limite, au sens de Janiszewski (These, Paris, 1911, p- 15), des ensembles ®,.

De la définition résulte pour le contingent la propriété d'être un ensemble fermé de demi-droites.

(3) Voir G. RaBaTé, Thèse, Toulouse, 1931, n° 11.

ÉEADLE

Nous ferons ici une étude complète du contingent en un point quelconque de la frontière F, pour en tirer dans la suite de nombreuses applications.

D’après sa définition, le contingent n'existe pas en un point isolé de F,. Soit donc M un point frontière non isolé, c’est-à-dire un point

(a) ou (6). Désignons par +(M) le contingent de F, en M.

40. LEMME DE LA SPHÈRE TANGENTE. — À toute demi-tangente MT correspond une sphère SP centrée sur E, passant par M et tangente à MT.

Soit { M; } une suite de points frontières tendant vers M de telle façon que les demi-droites { MM; } aient pour limite MT. À chaque point M; associons une de ses projections À; et considérons la suite { A;}. Elle est infinie et l’on sait, en vertu des théorèmes des projections (n° 21), que tout point d’accumulation A de cette suite est une projection de M. Extrayons de la suite { A;} une suite partielle { A; } tendant vers A et soit { M; } la suite des points frontières correspondants. En vertu des

s MARS mêmes théorèmes, on sait encore que les angles AMM,; tendent vers un angle droit; mais, d’après notre hypothèse, les demi-droites { MM, }

ont une limite unique : la demi-droite MT; on a donc AMT EUR angle droit, et la sphère de centre A répond à la question (comme d’ailleurs toute sphère dont le centre est un point d’accumulation de la suite { A;}).

41. De ce lemme, on déduit immédiatement cet énoncé général :

Le contingent 7(M) est la surface d’un cône convexe.

Je dis que par tout rayon MT on peut faire passer un plan Il ne traversant pas le contingent, c'est-à-dire tel qu'il n’y ait pas de rayons de x(M) de part et d’autre de II. |

En effet, on vient de voir qu'il existe une sphère Sf, centrée sur E, passant en M et tangente à MT. Le plan Il, tangent à cette sphère en M, répond à la question, car aucun rayon du contingent ne peut être situé par rapport à II du côté du centre de cette sphère.

Il est bien entendu que +(M) n’est pas nécessairement la surface d’un cône convexe véritable; il peut dégénérer en un plan, un dièdre,

EROOY de

un demi-plan, un secteur plan, deux demi-droites opposées ou même une seule demi-droite (!).

42. Le contingent 1(M). — Pour préciser la structure de +(M), nous allons considérer le contingent #(M) de la frontière f, obtenue en effectuant la construction de Cantor-Minkowski avec le rayon p sur les seules proiections de M; posant, pour abréger, e= &(M), cette construction fournit l’ensemble ouvert e, de frontière f, ; (M) est le contingent de /, en M. Nous comparerons ce contingent avec 7(M) après l’avoir déterminé par l’énoncé suivant :

Le contingent (M) de f, est la surface du cône supplémentaire du plus petit cône convexe (?) en fermant les projetantes de M.

On a vu (n° 59) que, pour l'existence du contingent #(M), il est nécessaire que M soit un point («) ou (6). Ilexiste donc au moins un plan IT passant par M et tel que toutes les projetantes de M soient d’un même côté du plan IT ou dans le plan; ces plans IT déterminent ainsi des régions, formées de tous les points de l’espace situés d’un même côté du plan ou dans le plan, qui contiennent toutes les projetantes M, et le plus petit cône convexe l' enfermant les projetantes du point M est la portion d’espace commune à toutes ces régions (*).

(:) Le plan et le dièdre sont réalisés pour des points de la classe & (n° 68). On trouvera un exemple des autres cas au n° 47. Voir aussi la note du n° 62.

(?) On sait qu’un cône convexe (solide) de sommet O est un ensemble fermé de demi-droites issues du point O tel qu'avec deux demi-droites OA et OB, il

contienne aussi l'angle plan Kob x. La frontière extérieure de cet ensemble est la surface du cône. On démontre que la surface d’un cône convexe se caractérise encore par cette propriété : par chaque demi-droite OA de cette surface, il passe au moins un plan d'appui, c'est-à-dire un plan tel que toutes les demidroites du cône non situées dans ce plan soient d’un même côté du plan.

(5) Notons que le cône F peut se réduire à une demi-droite (si M à une seule projetante), à deux demi-droites opposées (si M a seulement deux projetantes opposées), à un demi-plan (dans le cas de trois projetantes contenues dans un même plan, deux d’entre elles étant opposées) ou à un plan (dans le cas, par exemple, de trois projetantes contenues dans un même plan et faisant deux à deux des angles de 120°), ou encore à une pyramide (par exemple, si M a un nombre fini de projetantes non contenues dans un même plan).