LES

Quant au cône supplémentaire [' de l', il est ainsi déterminé : une demi-droite MG appartient à la surface de [” si elle est normale à une projetante MA et si, de plus, le plan passant par MA et perpendiculaire à MG partage l’espace en deux régions, l’une contenant MG, l'autre contenant toutes les projetantes de M.

Cela posé, je dis d’abord qu'une demi-droite MG de la surface de [” appartient au contingent (M). En effet, MG étant normale à une projetante AM, il existe une sphère S° (de centre A) passant par M et tangente à MG; de plus, aucune autre sphère de e, ne peut couper la demi-droite MGx, puisque aucune projection n’est du côté de G par rapport au plan passant par MA et perpendiculaire à MG. Par suite, tout cône circulaire droit de sommet M et d’axe MG contient à la fois des points de e, et des points extérieurs à e,, donc des points de la frontière f.. |

Réciproquement, un rayon MT du contingent &(M) appartient à la surface de [”. En effet, d’après le lemme de la sphère tangente (n° 40), il existe une sphère S° de centre À passant par M et tangente à MT : donc MT est normale à une projetante AM. De plus, aucune sphère de e, ne coupant la demi-droite MT, il en résulte qu'aucune projection de M ne se trouve du côté de G par rapport au plan passant par AM et perpendiculaire à MG.

458. Les deux contingents &(M) et (M). — Comparons maintenant 7+(M) avec &(M). On a d’abord ce théorème général valable pour tout point frontière où existe T(M) :

Tout rayon de (M) appartient à (M).

Soit MT un rayon de +(M); il faut établir que tout cône circulaire droit y de sommet M et d’axe MT contient des points de f,, ; pour cela, nous démontrerons qu'un tel cône contient toujours à la fois des points intérieurs et des points extérieurs à e,.

En effet, en vertu du lemme de la sphère tangente (n° 40), il existe une sphère de E, passant en M (donc une sphère de e,), tangente à MT : par suite, tout cône y contient certainement des points de e.. Mais ce cône ne peut pas contenir seulement des points de e,; autrement, tout point de e, étant point de E,, y ne contiendrait pas des

RTS Dies

points de la frontière F, et MT ne serait pas un rayon du contin-

gent T(M).

44. Ainsi le contingent +(M) est toujours contenu dans (M). Nous allons voir que si le point M est de la classe &, réciproquement (M) est contenu dans 4(M), c'est-à-dire que les deux contingents coïncident.

En tout point de la classe «, le contingent 7(M) de F, coïncide avec le contingent t((M) de f, (1).

Nous venons de prouver que tout rayon MT de (M) appartient à t(M); il reste à démontrer que, dans le cas actuel, tout rayon MT’ de 4(M) appartient à (M).

D'après le lemme de la sphère tangente (n° 40), il existe une sphère de e,, donc de E,, tangente à MT’ en M. Par suite, tout cône circulaire droit de sommet M et d’axe MT’ contient des points de E,. Pour établir que ce cône contient des points de la frontière F,, il suffit donc de montrer qu'il ne contient pas exclusivement des points intérieurs. Supposons le contraire et admettons qu’il existe un cône y CARRE ment formé de points de E,.

Appelons 3€ nbyhsee de S£ opposé à MT’, y compris la circonférence frontière C, et soit 3€ l'hémisphère complémentaire. Puisque M est de la classe «, nous savons (n° 38) que C contient une demi-circonférence C’ (extrémités À et B comprises) ne possédant aucune projection de M. Nous allons montrer qu'il y a contradiction entre l'existence de C’ et celle du cône y.

Outre la demi-circonférence C’, la sphère S£ n’a aucune projection de M sur #4 car, MT étant un rayon du contingent :(M), aucune sphère S° centrée sur l’ensemble E et passant en M ne peut couper la demi-droite MT". De plus, &(M) étant un ensemble fermé, il ne peut y avoir sur € aucun point de &(M) infiniment voisin de l'arc C'; par suite, on peut trouver un angle « tel que le fuseau formé sur de au voisinage de C/, par le plan I de la circonférence C et par le plan I,

(1) Notons que la réciproque n’est pas vraie : les contingents T(M) et (M) peuvent coïncider l’un avec l’autre sans que le point M soit de la classe «& (voir l'exemple 2° du n° 87).

passant par AB et faisant avec IT un angle x, soit dépourvu de point de &(M). Prenons « inférieur au demi-angle au sommet de y; alors l'hémisphère 4,, délimité par Il, et contenant C’, ne contient aucun point de &(M).

Cela posé, plaçons-nous dans le plan passant par MT" et par le milieu de la demi-circonférence C/; soit, dans ce plan, une demidroite MA normale à Il, : cette demi-droite fait avec MT’ un angle & et elle est par suite intérieure à y. Prenons sur MA une suite de points |P;} tendant vers M. D'après ce que nous avons supposé, tout P; est un point intérieur et la sphère Sf, enferme intérieurement au moins un point À, de E (critère de position, 1°; n° 15), mais les points A; ne peuvent être ni intérieurs à S£ (critère de position, 2°; n° 15), ni sur l'hémisphère 4€,. :

La portion de surface de S£ intérieure à Sf, étant incluse dans l'hémisphère #€,, elle ne peut contenir aucun point A;; les points A sont donc situés dans la portion d'espace extérieure à Sf et intérieure à S£,. Mais, quand P; tend vers M, cette portion d'espace a précisément pour limite l'hémisphère &, ; de la sorte, la suite { A;! aurait un point d’accumulation au moins situé sur #€, et appartenant à E (puisque E est fermé), ce qui impliquerait une contradiction.

AS. Le contingent en un point (x) et en un point (6). — En combinant l'énoncé précédent avec celui qui donne le contingent (M) de f, (n° 42), nous pouvons déterminer complètement le contingent T(M) en un point (a):

En tout point M de la classe «, le contingent (M) de la frontière F, est la surface du cône supplémentaire 1" du plus petit cône convexe TV enfermant les projetantes de M.

46. Nous avons, en définitive, obtenu cette propriété importante : le contingent de F, en un point (a) ne dépend que des projections de ce point. Ce fait souligne l’objectivité de notre classification en montrant à nouveau que les propriétés essentielles du voisinage d’un point (x) sont bien déterminées à partir de ses projections. Au contraire, en un point (6), le contingent ne peut se caractériser par la connaissance de ses seules projections : le contingent en un tel point est, en général, une partie seulement du cône supplémentaire [” (n° 45).

— Jo

4. Exewrzes. — 1° Reprenant l’exemple 3° donné plus haut (n° 87): E comprenant la surface de deux sphères, de rayons 2p et de centres À et B avec AB — 29, le milieu M de AB est un point frontière isolé possédant deux projetantes opposées MA et MB; le contingent 4(M) de la frontière f, relative aux seules projections de M est le plan perpendiculaire à AB, tandis que le contingent T(M) de la frontière totale F, n'existe pas.

2° Au lieu des deux sphères de l'exemple précédent, E comprend seulement les surfaces de deux hémisphères situés d'un même côté d’un plan IT passant par AB; le milieu M de AB est encore un point (5) à deux projetantes opposées. Le contingent {(M) est un plan, tandis que T(M) se réduit à une demidroite issue de M et perpendiculaire à IE.

3° E comprend : «. deux demi-circonférences de centres À et B (AB — 2p) et de rayons 2p, situées dans un demi-plan IT limité par AB; b. deux demi-circonférences de mêmes centres et de mêmes rayons situées dans un autre demiplan Il’ également limité par AB. Le milieu M de AB est un point (5) à deux projetantes opposées, de sorte que le contingent £(M) est un plan, tandis qu’en faisant varier lPangle & des demi-plans IT et Il, le contingent T(M) prend différents aspects :

a — 0, T(M) est un demi-plan normal à AB; a < 7, T(M) est un secteur plan, supplément du rectiligne du dièdre I ABIF; a — Tr, T(M) est formé de deux demi-droites opposées.

Il serait intéressant de poursuivre l’étude du contingent en un point (B). Les théorèmes précédents suggèrent de chercher sous quelles conditions supplémentaires le contingent en un tel point M ne dépend, comme celui d’un point (x), que des seules projetantes de M. En outre; les exemples ci-dessus font songer à cette question : le contingent en un point (6) peut-il être un secteur plan d'angle > 7?

Ajoutons ici quelques propositions sur les points (a), qui nous seront utiles au paragraphe suivant.

48. LE PARATINGENT EN UN poINT (a). — Le paratingent (voir n° 54) de la frontière F, en un point M de la classe « ne comprend aucune droite AMA' passant à l’intérieur (") du cône convexe dont la surface est le conungent (M).

Admettons qu'il en soit autrement. Alors, si petits que soient l'angle n et la longueur €, on peut trouver deux points frontières M'

(1) L'intérieur du cône convexe défini par T(M) est celui des deux portions de l’espace délimitées par T(M) et ne contenant pas les projetantes de M.

et M'tels qu’on ait à la fois MM'< e, MM"< ec et Mr, a a droite AA passant à l’intérieur du cône convexe T(M), on peut, d’après la définition de ce cône (n° 45 et 42), choisir n de manière que le plan médiateur II de M'M' découpe sur la sphère Sf deux calottes, la surface s de l’une d'elles étant tout entière à l'extérieur du cône convexe lenfermant les projetantes de M; il n’y a donc aucune projection de M sur la surface dela calotte s (y compris sa circonférence frontière C), ni au voisinage de C sur l’autre calotte puisque &(M) est fermé (n° 15). Or, d’après le lemme des deux points (n° 16), les projections de M' et de M” sont respectivement de part et d’autre du plan médiateur IT ou dans ce plan. D'autre part, la longueur e étant arbitrairement petite, le théorème des projections I (n° 47) nous apprend que toute projection À’ ou À”, de M’ ou M”, est une projection de M ou bien est infiniment voisine d’une projection de M. Il s'ensuit que l’un des deux points A’ ou A/est du côté de s par rapport au plan II (ou dans ce plan), donc que le point M a une projection sur cette calotte, ou au moins au voisinage de C sur l’autre calotte, ce qui est impossible.

49. Les deux théorèmes suivants caractérisent la nature des points de l’espace au voisinage d’un point (x) :

I. S: M est un point (a) et Y un cône quelconque de sommet M tout entier INTÉRIEUR au cône convexe T(M), tout point intérieur à 7 et su f ftsamment voisin de M est un point EXTÉRIEUR à E,.

Si l’on supposait le contraire, il existerait à l’intérieur de y une suite de points { P;} tendant vers M tels que toute sphère Sf, posséderait intérieurement ou sur sa surface au moins un point À; de E (n° 13). Tout point A; est situé dans la région &; de l’espace non intérieure à Sf et non extérieure à Sf,. Or, les P; étant intérieurs à y, on peut en extraire une suite { P, } tendant vers M suivant une direction intérieure ou au moins tangente à y, donc intérieure à 7(M), les régions R,, ayant pour limite la surface d’un hémisphère 4€ de Se, tout entière à l'extérieur du cône l enfermant les projetantes de M (n° 42). L'hémisphère 4€ ne peut donc porter aucune projection de M