BOULE
et il y aurait contradiction puisque, à la limite, quand les P, tendent vers M, les À, auraient au moins un point d’accumulation situé sur ÿ€.
I. Si M est un point (x) et y! un cône quelconque de sommet M tout entier EXTÉRIEUR au cône convexe 7(M), tout point intérieur à y! et su ffisamment voisin de M est un point iréreur à E,. :
En raisonnant encore par l'absurde, on aurait une suite de sphères {SF À tendant vers S£ dont aucune n’enfermerait intérieurement un point de E; par suite, la portion de surface s; de Sf intérieure à S$; ne porterait aucune projection de M. Mais les points P° étant intérieurs à y, on pourrait en extraire une suite { P; } telle que les portions s, tendraient vers un hémisphère de Sf limité par un plan qui passerait en M et traverserait le cône l (du n° 42), donc vers un hémisphère contenant au moins une projection de M, ce qui établit la contradiction.
50. Nous terminerons ce paragraphe en signalant que la considération du cône [' (voir n° 42) permet de préciser le théorème des projections (n° 47). Si M est un point frontière fixe non isolé (donc de la classe « ou 6), on sait (n° 21) qu’en associant une projection A; à chaque point d’une suite de points frontières { M;} tendant vers M, tout point d’accumulation A de la suite { A;} est une projection de M. IL est facile de voir qu’un tel point A appartient à la surface du cône F".
En effet, considérons une suite partielle { A;} extraite des A; et admettant À pour point limite unique; soit { M;} la suite des points frontières correspondants. Le lemme des deux points (n° 16) nous apprend que les projections de M et d’un point M; quelconque sont respectivement de part et d’autre du plan Il; médiateur de MM; (ou dans ce plan). Extrayons alors des M; une suite partielle M, de façon que la suite des plans médiateurs {Il;} admette un plan limite unique IT. Comme les points A et A, sont de part et d'autre de Il; (ou dans ce plan) et que, de plus, les suites { M, } et { A; } tendent respectivement vers M et vers À, ce plan limite II passe par MA et toutes les projetantes de M sont d’un même côté de IT; le cône convexe l'est
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donc tout entier de ce même côté et il est impossible que MA soit une demi-droite intérieure à ce cône.
Il est ainsi prouvé que toute projection A’ d’un point frontière M’ infiniment voisin de M est à l'extérieur ou sur la surface du cône T enfermant les projetantes de M (").
