III. — Représentation paramétrique locale

ÿ1. Une première application du contingent se rencontre en étudiant la représentation paramétrique de la portion de frontière K, constituant le voisinage d’un point déterminé. M. G. Bouligand a énoncé cette proposition : Si en un point frontière M, on peut trouver un cône droit à base circulaire dont tout point intérieur est extérieur à E, (hypothèse H), le voisinage de M est représentable sous la forme 3— f(x, 7), la fonction f(æ, y) étant à nombres dérivés bornés (?). A la suite des résultats que nous venons d’énoncer (n° 49 ), il est clair que cette hypothèse est réalisée en tout point (x).

Nous ne reproduirons pas le raisonnement de M. Bouligand et nous établirons directement que le voisinage d'un point (x) admet une représentation paramétrique simple.

92. Point DE LA CLASSE &. — À tout point O de la classe «, on peut J'aire correspondre un voisinage, formé de tous les points frontières situés

(*) Ajoutons que la considération de ce cône F conduit encore à d’intéressantes propositions, conséquences du théorème des projections 1, où s’introduit la semi-continuité d'une fonction de point sur un ensemble :

1. L'angle solide Q(M) du plus petit cône convexe V(M), en fermant les pro- Jetantes d'un point frontière M non isolé, est une fonction semi-continue supérieurement sur la frontière.

D'où, en vertu du n° 45 :

IL. Sur l’ensemble des points (x), l'angle solide du cône convexe défini par le contingent est une fonction semi-continue inférieurement.

(*) G. BouriGann, Sur certaines classes de surfaces de l'espace euclidien à trois dimensions (C. R. Acad. des Sc., 1. 190, 1930, p. 1001); Sur la construction de Cantor-Minkowski (Ann. de la Soc. polonaise de Math., t. 9, 1930, p. 28). Nous retrouverons plus loin (n° 126) l'hypothèse H,

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à une distance suffisamment petite de O, qui soit représentable par une équation de la forme 3 = f(x, y), la fonction f(x, y) étant continue et à nombres dérivés bornés.

D'après la définition (n° 53) d’un point (x), toutes les projetantes de O sont d’un même côté d’un plan IT et aucune d'elles n’est dans ce plan, ni infiniment voisine de ce plan, puisque leur ensemble est fermé (n° 15). Prenons IT pour plan +0 y, le demi-axe O3 étant la demidroite perpendiculaire à IT, du côté opposé aux projetantes de O.

Je dis d’abord qu'il existe sur la frontière F, un voisinage de O tel qu’une parallèle à O3 ait au plus un point commun avec ce voisinage. En effet, s’il en était autrement, on pourrait trouver, si petite que soit la longueur e, deux points frontières M et M’ à une distance de O moindre que € et situés sur une même parallèle O,z, à Oz. La droite z/O: ferait donc partie du paratingent (n° 54) de la frontièreF, en O, ce qui est impossible (n° 48) car, d’après le choix de nos axes, cette droite passe à l’intérieur du cône convexe dont la surface est le contingent (O0) de F, en O (n° 45). ;

Montrons maintenant qu'il existe une longueur / telle que toute corde de la sphère Si, parallèle à Oz, ait au moins un point commun avec F, à l'intérieur de Si. Il suffit de faire voir qu'une telle corde contient à la fois un point extérieur et un point intérieur à E,. Or ceci est immédiat, car on a vu (n° 49) qu'en prenant deux cônes y et y, de même sommet O, respectivement intérieur et extérieur au cône 7(0), tout point de l’un de ces cônes, suffisamment voisin de O, est un point extérieur ou intérieur à E,, suivant qu’il appartient à y ou à y.

On a donc établi l'existence sur la frontière F, d’un voisinage de O qui est en correspondance biunivoque, par projection orthogonale, avec le plan IT. Comme à deux points infiniment voisins de ce voisinage correspondent sur II deux points infiniment voisins, la correspondance est continue de F, vers Il, donc bicontinue (voir la note du n°74). Ilest ainsi prouvé que ce voisinage de O est représentable sous la forme 3 — f(x, y), la fonction f(x, y) étant continue.

Il reste à démontrer que pour tous les points suffisamment proches de O, la fonction f(x, y} est à nombres dérivés bornés ou encore que la surface formée par ces points est à pentes bornées. Or, la demi-

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droite Oz étant intérieure au cône convexe formé par le contingent r(0), nous venons de rappeler que, si l’on choisit un cône de révolution y, de sommet O et d’axe 3/03, tout entier intérieur à r(O) et à son symétrique par rapport à O, ce cône ne contient au voisinage de O aucun point de F,. De plus, pour un point frontière M’ infiniment voisin de M, le cône y, déduit de y, par la translation MM ne peut contenir intérieurement aucun autre point frontière, sans quoi le paratingent de F, en O comprendrait une droite AOA' intérieure ou au moins tangente à y,, ce qui est impossible (n° #8) puisqu'elle passerait à l’intérieur de +(O). Le théorème annoncé est donc établi.

35. Point (B) à deux seules projetantes opposées. — Le théorème précédent, sur la représentation paramétrique de la frontière F, au voisinage d’un point (x), ne s'étend pas, en général, aux points de la classe 5. Toutefois, pour un type particulier de ces points, sur lequel nous reviendrons longuement au chapitre suivant, on a aisément une propriété simple : il s’agit des points dont les projetantes se réduisent à deux rayons opposés :

Soit O un point frontière dont les projetantes sont deux rayons opposés OA et OB. Il existe un voisinage de O, formé de tous les points frontières situés à une distance suffisamment petite de O, tel qu'une parallèle à AOB ait au plus deux points communs avec ce voisinage.

Désignons par & un voisinage de À et par G@ un voisinage de B sur l’ensemble E (c’est-à-dire le système des points de E distants de A ou de B d’au plus une longueur arbitraire). Soit Fa (ou F4) la frontière obtenue par la construction de Cantor-Minkowski avec le rayon o sur & (ou sur 3). D'après le théorème des projections I (n° 17), tout point de F, suffisamment voisin de O a ses projections voisines soit de À, soit de B; on peut donc déterminer sur F° un premier voisinage de O dont tous les-points appartiennent à l’une au moins des deux frontières Fa ou F3. Mais, d’autre part, le point O a, pour chacune de ces frontières, une seule projetante OA ou OB : c’est donc un point (x). On sait alors (n° 52) qu’il existe sur F4 et sur F% des voisinages de O ayant au plus un point commun avec une parallèle à AB, et une telle parallèle ne peut avoir avec F, plus de deux points communs, ;

54. Mais on ne saurait déduire de cette propriété qu'un point O du type considéré possède toujours un voisinage se décomposant en deux portions représentables séparément par une équation de la forme

Il se peut, en effet, qu’une parallèle A, B, infiniment voisine de AB n'ait au voisinage de O qu’un seul point commun avec la frontière F, ou même n'en ait aucun. Ainsi, on a vu dans l'exemple 3° du n°57 un point à deux projetantes opposées, qui est point frontière isolé : Le voisinage de ce point n’existe pas. Dans l’exemple 2°, on a le cas d’un point O pour lequel toute parallèle A, B, à AB rencontre la frontière en un seul point : le voisinage de O est ici une surface unique. On peut encore rencontrer le cas où ce voisinage se réduit à une ligne; par exemple, prenons pour ensemble E la surface de deux cylindres droits à base circulaire dont les directrices sont, dans un plan Il, les deux circonférences de même rayon 29 et de centres À et B (avec AB — 29); tout point O de la perpendiculaire élevée au milieu de AB sur le plan II est un point frontière à deux projetantes opposées et le voisinage de ce point est une portion de cette perpendiculaire

(cf. l'exemple 3° du n° #7 lorsque à — #7).

5. Le théorème sur le voisinage d’un point (x) ne peut donc s'étendre aux points considérés qu'avec une condition restrictive :

Soit O un point frontière dont les projetantes sont deux rayons opposés OA et OB. S'il existe un voisinage de O (formé de tous les points frontières intérieurs à une sphère S,) pour lequel toute parallèle à AB ait au moins deux points communs avec ce voisinage, alors l'y a un voisinage de O se décomposant en deux portions représentables séparément par une équation de la forme 3 — f(x, y), la fonction f(æ, y) étant continue et à nombres dérivés bornés (*).

(:) Notons que l'hypothèse implique des propriétés particulières des points ainsi définis. Tout d’abord, en vertu des théorèmes des projections, un point frontière O’ infiniment voisin de O a ses projections infiniment voisines de À ou de B, mais O’ ne peut avoir à la fois une projection A’ proche de À et une projection B’ proche de B, car la parallèle O’z' à Oz ne contiendrait aux environs

Prenons pour plan æOYy le plan IT perpendiculaire en O à AB, le demi-axe Oz étant, par exemple, la demi-droite OA. Considérant les frontières Fa et Fx définies plus haut (n° 55), le point O est un point («) pour chacune d’elles. Il existe donc (n° 52) sur Fa et sur F& des voisinages de O, Va et Ve, susceptibles d’être représentés séparément par une équation de la forme indiquée, voisinages formés respectivement des points de Fa ou de F% intérieurs à une sphère S, ou Sy. Le voisinage annoncé pour F, se compose alors des points frontières intérieurs à la plus petite des trois sphères Si, S6, S;; en effet, à l'intérieur de cette sphère, la frontière F, s’identifie avec les deux surfaces Va et Va : tout point de F, appartient évidemment à l’une de ces surfaces et, réciproquement, tout point N de Va, par exemple, fait partie de F,, sans quoi la parallèle Nz’ à Oz devrait rencontrer l’autre surface V4 en deux points, ce qui est impossible. Notre théorème est donc établi.

96. Autres points (B). — Nous sommes arrivés à ce résultat que, pour un point (5) à deux projetantes opposées, on peut, dans certains cas, étendre la représentation paramétrique locale, en remarquant que le voisinage de ce point est parfois susceptible de se décomposer en deux surfaces. L'éventualité possible, c’est que l’une de ces surfaces ou toutes les deux fassent défaut, mais il n’y en a jamais plus de deux.

Pour un point (B), dont le système des projetantes est plus compliqué, le problème de la représentation paramétrique se révèle aussi plus complexe. Tout d’abord, il peut se produire la même éventualité que plus haut : le voisinage du point n’est pas une véritable surface: par exemple, si l’on prend pour ensemble E la surface d’un cylindre circulaire droit de rayon p, tout point de l’axe de ce cylindre est un

de O’ (donc aux environs de O) que le seul point frontière O”, les autres points de cette parallèle étant intérieurs aux sphères Sf, et Sf. Par suite, le point O n’a dans son voisinage aucun autre point frontière à deux projetantes opposées et tout point répondant aux conditions de l'énoncé est isolé. On en déduit que : les points à deux projetantes opposées, possédant sur la frontière un voisinage ayant toujours deux points communs avec une parallèle à la ligne des proje-

tantes, forment un ensemble dénombrable.

He =

point (5), dont le système des projections constitue une circonférence de rayon p, et le voisinage de ce point est un segment de droite.

Mais outre cette difficulté, qui résulte de l'absence de points frontières donnant lieu à une véritable surface, on doit envisager la difficulté inverse : le voisinage d’un point (B) quelconque comprend-il au plus un nombre fini de surfaces représentables séparément par une équation z—/(x,y)? Sans étudier davantage cette question, nous allons donner un exemple qui, avec les précédents, montrera la variété de structure que peut offrir un tel voisinage et aussi qu’il y a lieu, dans cette étude, de se défier des analogies.

57. Prenons un système auxiliaire d'axes OËnt. L'ensemble E comprend dans ce système : une suite infinie de circonférences { +, } données par les équations