ONDES

(2) E—=—p, HE —otp ;

une autre suite infinie de circonférences analogues { y, }

j se ONE (Yn) Ge 5; E + n° = 26p ns ;

enfin le point de coordonnées (0,0, 0).

Considérons l’origine O ; c'est un point (B) possédant trois projections, de coordonnées respectives (0,0,9), (—p,0,o)eto,0, —p), qui sont les extrémités et le milieu d’une demi-circonférence de centre O et de rayon o, contenue dans le plan n—o. Le contingent (0) de F, en O est le demi-plan { — 0, 620.

Or, pour un point (6) du type précédemment étudié (n° 55), où le contingent est un plan, on a pris Oz normal à ce plan. Pour un point (x) où le contingent est un dièdre, c'est-à-dire un point (a) dont les projetantes sont comme ici contenues dans un même plan, ce demi-axe doit être intérieur au plus petit dièdre ainsi déterminé par le contingent; le point O de notre exemple évoque le cas limite où les deux faces du diëdre seraient confondues. Par analogie avec les points de l’un ou l’autre type ('), on songe naturellement à prendre

(*) Avec les définitions du chapitre suivant (n° 62), cela revient à dire : par analogie avec les points de même classe où de même espèce que le point O.

Ni qe

. pour demi-axe Oz soit la normale à (0), soit une droite de ce demiplan.

Mais un tel choix ne conduit pas à décomposer la frontière F, en un nombre fini de surfaces. En effet, l'intersection de F, par le plan de coordonnées nOÙ comprend une suite infinie de circonférences | F, } déduites des y, par une translation + 9 suivant l'axe OË; une droite normale au plan Ü — o rencontre donc F, en une infinité de points. Et il en est de même pour une droite contenue dans ce plan, car l'intersection de F, avec le plan EOn comprend une suite infinie de circonférences analogues { [",} déduites des y, par une translation + p suivant OÙ.

Cependant, on peut démontrer qu’en choisissant le demi-axe Oz dans le dièdre droit de rectiligne EOË, une parallèle à ce demi-axe n’a pas plus de deux points communs avec F, au voisinage de O. En effet, considérons E, comme la réunion de la sphère Sf, de centre A(0,0,p9), et du domaine restant Ef après la suppression de cette sphère. Le point O, envisagé sur la frontière F°/ de E°), est un point (x) où le contingent de F°/ est formé des deux faces du dièdre droit de rectiligne EOË (n° 45); on sait alors (n° 52) qu’en prenant Oz dans ce dièdre, toute parallèle à Oz, suffisamment voisine de ce demi-axe, rencontre FŸ) en un point et en un seul, et la même propriété a lieu pour la surface de la sphère Sf. Comme tout point de F, appartient soit à la surface de Sf, soit à la frontière F°/, il en résulte qu’une telle parallèle a au plus deux points communs avec F,.

98. Remarques sur les conditions d'exclusion des points (B).— Pour terminer le chapitre, nous signalerons encore quelques questions. Les points («) jouissant de propriétés simples, on est amené à se poser les problèmes suivants :

1° Un ensemble E étant donné, quelles sont les valeurs de e qui conduisent à une frontière F, exclusivement formée de points (œ)?

2° Quels sont les ensembles E qui ne donnent naissance qu’à des points (x) pour une valeur donnée de p, ou bien quel que soit o ?

59. Nous donnerons, sur le premier de ces problèmes, un théorème appelé à jouer un rôle important (n° 114).

Si l’on effectue sur un ensemble KE, de diamètre D, la construction de

Cantor-Minkowskt avec un rayon no la frontière obtenue ne com-

prend que des points de la classe «.

Soit M un point frontière quelconque. Il faut démontrer que le système des projections &(M) se localise sur une calotte, moindre qu’un hémisphère, de la sphère Sf.

Soit À une projection quelconque de M. Il est facile de voir que l'hémisphère 4€ (circonférence frontière C comprise) de Sf, opposé

à MA, ne contient aucune projection de M. En effet, s’il y avait une projection B sur #€, on aurait

AB2>p V2;

o V2 étant la distance de À à un point de la circonférence C, et cette inégalité est impossible puisque deux points À et B de E sont à une distance AB<D et que D € 9 ÿ2.

L'ensemble & (M) étant fermé, on peut trouver une longueur & telle que &(M) se localise sur une calotté sphérique de pôle A, limitée par un plan situé à la distance € du plan de C.

On remarque que l'hypothèse précédente p > Fe D fournit un résultat

plus précis que celui annoncé. Non seulement l’ensemble &(M) des projections d’un point frontière M se localise sur une même calotte sphérique de Sf, mais il se localise sur une calotte ayant pour pôle une quelconque des projections de M, donc sur la région commune à toutes ces calottes analogues. On pourrait se proposer de chercher la plus petite valeur # telle qu’en prenant & © ÆD, la frontière obtenue soit exclusivement formée de points (x). On ne saurait d’ailleurs prendre

E NE comme le montre cet exemple : E comprend les trois sommets

D ÿ —, le centre du triangle

d’un triangle équilatéral de côté D ; avec & —

est un point de la classe 6.