AE 7, DER
La combinaison de nos deux classifications donne naissance aux types de points suivants :
Prenuère espèce. — Un point de première espèce peut posséder une seule projetante, c’est alors un point ordinaire (n° 44) ou point (&,), ou bien deux projetantes opposées : point (f,). Il n'existe pas de point de première espèce de la classe y ou point (y).
Deuxième espèce. — Les projections d’un point de deuxième espèce sont réparties sur une circonférence de rayon p ; lorsque celle-ci a un arc > nr dépourvu de projection, le point est de la classe à : c’est un point (æ,); dans le cas contraire, on a un point (6,). Il n’existe pas de point (V2).
Troisième espèce. — Un point de troisième espèce sera un point («;), (B,) ou (Y;) suivant que ses projections se localisent sur une même calotte, sur un même hémisphère ou non.
Les points (,) étant des points frontières isolés, c’est-à-dire dont le voisinage ne comprend que des points intérieurs à E, (n° 55), ils ne retiendront pas notre attention, et il reste six types importants de points frontières (!).
63. La proposition du n° 45 permet de préciser la forme du contingent pour les trois espèces de points (æ):
En un point (x,), le contingent est un plan normal à la projetante unique ;
En un point (4, ), le contingent est formé des deux faces d’un dièdre, dont le rectiligne est supplémentaire de l’angle des deux projetantes extrèmes;
En un point (x,), le contingent est la surface d’un cône convexe véritable.
(*) Il est facile de réaliser des exemples de ces différents types de points; il suffit de se donner d’abord, d’après la définition du point M cherché, l’ensemble e ou (M) de ses projections sur la sphère Sf, puis on peut compliquer arbitrairement le voisinage de M en ajoutant des points voisins de ceux de&(M), non situés sur Sf. Notons que la frontière f, de es, pour ces différents cas, fournit des exemples de contingent #£(M) répondant à l’énumération déjà faite
(n°$ 41 et 42).
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Ultérieurement, nous dirons un mot du contingent en un point de deuxième ou de troisième espèce (n° 121).
G4. Les spécifiques. — À tout point d'espèce ou de type déterminé, on peut associer une figure déterminée obtenue à partir des projetantes du point. Cette figure, étant caractéristique de l’espèce ou du type étudié, peut être appelée le sPécirique du point considéré.
Pour un point Ci); le spécifique sera un rayon p, projetante unique du point. Pour un point (B,), ce sera un diamètre 2p constitué par les deux seules projetantes du point.
Pour un point de deuxième espèce, le spécifique sera un triangle isocèle formé avec deux quelconques des projetantes du point, étant bien entendu que ce spécifique est un véritable triangle, non réduit à une projetante unique ou à deux projetantes opposées.
Enfin, pour un point de troisième espèce, le spécifique sera un tétraèdre formé avec trois projetantes quelconques non situées dans un même plan.
L'intérêt de cette notion réside dans les théorèmes d’impénétrabilité que nous énonçons maintenant, en les faisant suivre de la démonstration générale.
Il. — Théorèmes d’impénétrabilité.
GS. Les PROJETANTES. — Deux projetantes quelconques ne peuvent avoir en commun qu'une extrémité.
Cet énoncé est applicable à des points frontières d’espèce quelconque.
GG. LEs TRIANGLES DE PROJETANTES. — Deux triangles tsocèles formés respectivement par deux projetantes de deux points distincts ne peuvent avoir en commun que des points situés sur la base de chacun d'eux.
Enoncé applicable à des points de deuxième ou de troisième espèce.
67. LES TÉTRAÈDRES DE PROJETANTES. — Deux tétraèdres formés respecüvement avec trois projetantes de deux points distincts ne peuvent avoir
en commun que des-points situés sur la base de chacun d'eux. “ \
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Énoncé applicable à des points de troisième espèce.
En effet, deux des figures considérées (segments, triangles, tétraèdres), provenant de deux points frontières distincts, sont, d’après le lemme des deux points (n° 16), appliquées à nos deux points frontières, de part et d'autre du plan médiateur et ne peuvent avoir de point commun que dans ce plan.
