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On sait qu'un continu est un ensemble borné, fermé et bien enchaïné ('). Soit £(C,,) l'ensemble des spécifiques de €, ; tout d’abord Z(C.,) est fermé, comme €, (n° 74). Montrons que X(C,, ) est bien enchaîné.

En effet, soient co et o’ deux spécifiques quelconques appartenant à Z(C,,). Il faut prouver qu'étant donnée une longueur € aussi petite que l’on veut, on peut trouver une suite finie de spécifiques 5,, 6, ..., S appartenant à È(C,,) tels que

CPSCERESE ÉD OMR €, ren Fer alere

Une telle suite s'appelle une chaîne par rapport à &.

Or, d’après le théorème précédent (n° 78), la longueur € étant donnée, il est possible de trouver une longueur n telle que, M; et M, étant deux points de l’ensemble fermé €,,, l'inégalité M;M,;< n entraîne pour les spécifiques de ces deux points{5;, 5;]<e. L'ensemble €, étant, de plus, bien enchaïné, on peut trouver entre les deux points M et M, correspondant aux deux spécifiques considérés o et 5’, une chaîne par rapport à n, soit M,, M,, ..., M,. Chaque point M, de cette suite a un spécifique et un seul 6, et la suite o,, G, ..., 5, constitue la chaîne par rapport à e que l’on cherchait. ;

L'ensemble X(€,.) est donc bien enchaïné. Étant, de plus, fermé et borné, c’est un continu.