D'où ces propositions
L'ensemble des projetantes d’un continu de points (ax,) est un continu. L'ensemble des projections d'un continu de pounts (a, ) est un continu (ou se réduit à un point) (?).
82. Les ensembles de points (B,). — Les théorèmes sur les spéci-
(*) Ceci est la définition de Cantor. D’après Jordan et Schænflies, un continu est un ensemble fermé qu’on ne peut décomposer en deux ensembles fermés sans points communs. Dans les espaces (®) ou distanciés, ces deux définitions sont équivalentes.
(2) Par conséquent, si la frontière totale F, est un continu de points (&,), le front o, (n° 22) est aussi un continu. Réciproquement, si 9, n'est pas un conünu et si F, en est un, F, contient nécessairement des points qui ne sont pas (œ,).
us
fiques des points (x, ) s'étendent immédiatement aux points (B,). Soit M un tel point ; le système de ses projetantes se réduit à deux rayons opposés MA et MB, formant un spécifique-diamètre 5 = AMB — 2», associé au point M.
83. Considérant d'abord un ensemble quelconque de points (B,), on a aussitôt, comme au n° 72 :
St une suite {M;} de points (B,) tend vers un point limite M, la suite { 0;} des spécifiques correspondants a pour limute le spécifique © de M.
Car, d’après les théorèmes des projections, tout spécifique d’accumulation de la suite {0;! est un diamètre de longueur 29 formé avec deux projetantes de M; or, ce point, étant (B,), n’a qu'unseul diamètre de projetantes, qui est son spécifique.
8/4. À partir de cette propriété fondamentale, on aboutit -par les mêmes raisonnements à des propositions similaires aux précédentes. Nous nous bornerons à les énoncer.
De même qu’au n° 75 :
La correspondance entre les spécifiques et les points d’un ensemble quelconque de points ($, )est biunivoque et bicontinue (ou encore : est homéo-
morphe ).
85. Passant aux ensembles fermés de points (B,), le n° 50 nous donne :
Les spécifiques d’un ensemble fermé de points (B,) constituent un ensemble fermé.
86. Nous prendrons encore ici pour distancier deux spécifiques s=AMB et 5 = A'M'B' l'écart [o, 5] de ces deux spécifiques. Reprenant les considérations développées plus haut (n° 77 à 79), on aboutit à ce théorème :
La correspondance entre les spécifiques et les points d’un ensemble *
bre
fermé de points (6, est biunivoque et uniformément continue dans les deux sens (*).
87. Enfin, pour les ensembles continus de points (B,), on a de la même façon (n° 80) :
L'ensemble des spécifiques d’un continu de points (B,) est un continu,
ce qui permet d’énoncer :
L'ensemble des projetantes d’un continu de points (8, ) est un continu.
88. Mais on ne saurait déduire de là, comme le suggère l'examen de certains cas simples (cf. l'exemple 2° du n°37), que l'ensemble des projections d’un continu de points (B,) est formé de deux continus distincts (l’un d’eux pouvant d’ailleurs se réduire à un point). Par exemple, prenons un rectangle ABCD, de hauteur AB — CD —2p et de base AD — BC arbitrairement grande; replions la figure de façon que C coincide avec À, et D avec B. On obtient une courbe gauche fermée ADBCA qu'on peut prendre pour ensemble E; l’axe du rectangle primitif, parallèle à AD, est devenu lui-même une courbe gauche qui est un continu de points (B, )et les projections de ce continu constituent un seul continu : la courbe ADBCA.
