LEO
Supposons, en effet, que C4, ait, pour ensemble de ses projections, trois continus C,, C:, C;. Un point quelconque de C4,, ne possédant que deux projections, ne peut en avoir à la fois dans ces trois continus. Choisissons deux points M et M'de €3,, le point M n’ayant pas de projection dans C;, par exemple, tandis que M’ a une projection A' dans C;. Soit e une longueur inférieure à la plus courte distance entre les trois continus pris deux à deux. Prenons entre M et M' sur Cg, une chaîne par rapport à la longueur n correspondant à € (cf. n° 80) de façon qu'on ait une chaîne par rapport à e entre les spécifiques AMB et A'M'B', ce qui implique une telle chaîne entre la projection A’ de M’ et une projection À, par exemple, de M ('), mais c’est impossible puisque À et A’ appartiennent à deux continus dont la plus courte distance est > €.
90. Dans le cas de deux continus C, et C;, il y a lieu d'observer que :
Chaque point de C3, a une projection dans un des continus et l’autre projection dans le second continu.
Supposons, en effet, qu'un point M de C4, ait ses deux projections À et B dans C,. En choisissant un point M'.de €, ayant une projection A dans C,, on peut répéter le raisonnement précédent : avec une longueur € inférieure à la plus courte distance entre C, et C,, et une chaîne sur C3, par rapport à n entre M et M, on serait conduit à une chaîne par rapport à e entre A’ et À ou A’ et B, ce qui est impossible.
Ce cas est intéressant, car il permet de distinguer entre les deux projections d’un point de Ca,.
91. Nous n’insisterons pas davantage sur les propriétés des projec- Lions d’un ensemble de points (6,). Nous avons seulement tenu à faire remarquer que les propriétés des ensembles de points (x, ) ne s’éten-
(*) D'après la définition (cf. la note 2 du n° 76), pour deux segments de droite, les conditions simultanées : AMB(T (A'M'B'}, et A'M'B'C (AMB), impliquent que les extrémités À et B sont intérieures respectivement aux sphères SP centrées aux extrémités de A'M'B', et réciproquement,
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] OR . r 3° : . . e e dent pas d’une manière immédiate aux projections des points(B,), mais à leurs spécifiques, d'où l'intérêt de cette notion.
92. Les ensembles de points de première espèce. — A côté des théorèmes précédents qui concernent les ensembles formés exclusivement soit de points (x, ), soit de points (B,), on peut chercher les propriétés des ensembles de points de première espèce (!), sans plus. Nous nous bornerons aux suivantes.
95. La proposition déjà rappelée sur les diamètres d'un ensemble quelconque de points frontières (n° 30) conduit à cet énoncé :
Un point (x, ) ne peut étre limute d'une suite de points (G,) (?).
