Il en découle

Soit ©, un continu de points de première espèce (sans plus): ou bien C, contient un sous-continu de points (x, ) ou bien ©, contient exclusivement des points (B, ).

Supposons, en effet, que @, ne contienne aucun sous-continu de points («,) et, de plus, que €, possède un tel point M. Soit S$ une sphère de rayon arbitrairement petit; cette sphère découpe sur €, un continu au moins, contenant le point M (*), qui n’est donc pas formé exclusivement de points (x,). Par suite, elle contient au moins un point (B,) et le point M, qui est («,), serait ainsi limite de points (f,), ce qui est impossible. |

(1) Dans la suite, nous dirons souvent pour abréger : ensemble de première espèce ou continu de première espèce pour ensemble de points de première espèce ou continu de points de première espèce (de même pour les autres espèces). :

(2) Notons qu'en désignant par Fs, l’ensemble de tous les points (B,) de la frontière F,, tout point du dérivé F3, a au moins deux projetantes opposées : ce n’est donc jamais un point (æ,) ou ordinaire (n° 14).

(5) On sait que : st un continu € contient un point M qui soit point intérieur d'un ensemble fermé % (ici la sphère Sÿ centrée en M), &/ existe un continu contenant le point M et contenu à la fois dans € et F. ( Voir, par exemple : S. Janiszewskt, Thèse, Paris, 1911, p. 22, théorème IV.)