PAT | DURE

remarque immédiate, mais qu’il importe de dégager en vue des applications ultérieures.

Soit P un point quelconque de l’espace; construisons la sphère S$ de centre P et de rayon po. Trois cas peuvent se présenter :

1° Si P est un point entérieur à E,, la sphère S$£ enferme intérieurement un point au moins de E;

2° Si P est un point frontière, la sphère S£ ne contient aucun point de E à son intérieur, mais elle en contient un au moins sur sa surface;

3° Si P est un point extérieur, la sphère S$ ne contient aucun point de E, ni intérieurement, ni superficiellement.

Il est clair que ces propriétés sont caractéristiques d’un point intérieur, d’un point frontière ou d’un point extérieur. En raison de leur usage fréquent, nous les désignerons sous le nom de : critères de postuon(x°,.2e109°).

14. Points ordinaires et points de multifurcation. — Selon la terminologie de M. G. Bouligand, un point frontière dont la projection est unique, ou encore qui donne lieu à un minimum strict pour sa distance à E, est un point ordinaire de la frontière; les autres, qui fournissent des minima larges, sont des points de multi furcation (*).

Je rappelle brièvement les propriétés que M. Bouligand a données de ces points (?). Après avoir établi ce lemme :

Soient M un point frontière quelconque, À une de ses projections sur E. Tout point N du segment MA, distinct d’une de ses extrémités, est un point ordinaire lorsqu'on prend pour o la distance de N à À,

il en déduit les deux propositions suivantes :

a. Tout point ordinaire est un point frontière extérieur (*);

(1) G. BouuiGanD, Ensembles impropres et nombre dimensionnel (Bull. des Sc. math., 2° série, t. 52, 1928, p. 372).

(2) G. BouuiGan», Sur la construction de Cantor-Minkowskt (Annales de la Soc. polonaise de Math., t. 9, 1930, p. 25 et 26).

(5) Nous démontrerons plus loin un théorème qui comprend cet énoncé

comme cas particulier (n° 36). J

RE en

b. Tout point frontière extérieur est limite de points ordinaires sur celle frontière.

IT. — Correspondance de la frontière avec les projections.

15. Soit M un point quelconque de la frontière F,. Désignons par (M) l’ensemble des projections de M sur E; &(M) est l’ensemble des points communs à E et à la surface de la sphère S£ de centre M et de rayon p (laquelle n’enferme intérieurement aucun point de E, — critère de position, 2°; n° 13) : étant le produit de deux ensembles fermés, &(M) est donc un ensemble fermé, qui peut d’ailleurs se réduire à un nombre fini de points.

16. Lemme des deux points. — Les projections de deux points frontières quelconques M et M' sont respectivement du même côté que le point correspondant par rapport au plan médiateur de MM (ou dans ce plan).

En effet, d’après Les critères de position (n° 13), toute projection de M est sur la surface de la sphère Sf, sans être intérieure à la sphère Sf ; or, la portion de Sf, non intérieure à Sf,, est précisément du même côté que M par rapport au plan médiateur II de MM! (ou bien dans ce plan).

46 bis. Si, au lieu de deux points, nous considérons trois points frontières, les plans médiateurs correspondants définissent trois dièdres et, en vertu de ce qui précède, les projections d’un point considéré sont dans le même dièdre (faces comprises) que ce point.

Cette propriété s'étend à un nombre quelconque de points frontières considérés simultanément. On est alors amené à séparer l’espace en régions de nature polyédrale contenant chacune un point et les projections de ce point.

Notons encore que le lemme des deux points, tout en découlant directement des critères de position, les complète, dans le sens suivant : deux points frontières étant donnés, il définit la région sphérique maximum offerte aux projections de chacun d’eux. Or, la réunion de ces deux régions est précisément la frontière obtenue par la construction de Cantor-Minkowski effectuée sur l’ensemble composé exclusivement de