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demi-ellipse d’axe MM’ (la sphère S£ laissant à son extérieur tout l’arc de la demi-ellipse) : le point M devient un point de deuxième espèce ayant deux projections À et B, et tout point de deuxième espèce de la frontière F, a un spécifique unique et bien déterminé.

S1 l’on prend alors sur notre demi-ellipse une suite de points {M;} tendant vers M, il est clair que les spécifiques correspondants { 5;} ou {A;M;B;} ne tendent pas vers le spécifique 5 = AMB de M, car les triangles isocèles A;M;B; ont pour limite la seule projetante MA et non tout le triangle AMB. La proposition fondamentale des n° 72 et 83 n’a donc pas lieu ici.

De la même façon, en considérant un arc d'extrémité M de la demiellipse, on a un continu de deuxième espèce dont les spécifiques ne forment pas un continu, ce qui diffère encore des n° 80 et 87.

Les ensembles de deuxième espèce se révèlent donc d'une étude plus difficile que ceux de première espèce. Pour obtenir des énoncés analogues aux précédents, nous devrons ajouter une condition supplémentaire, condition qui conduira d’ailleurs à des propriétés nouvelles pour une classe étendue de continus de deuxième espèce.

97. Cette condition supplémentaire pourrait être précisément la continuité de la correspondance des points frontières avec leurs spécifiques. Si l’on considère un ensemble 6, de points de deuxième espèce auquel on peut associer biunivoquement un ensemble de spécifiques tels que, pour toute suite de points {M;} de 6, tendant vers un point M de &,, la suite des spécifiques correspondants | 5;} ait pour limite le spécifique 6 de M, on rétablit la proposition fondamentale (n° 72) qui a permis l’enchaîinement des démonstrations précédentes. On aurait ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que l’ensemble &, possède mêmes propriétés, quant à ses spécifiques, que les ensembles de

points (x, ) ou de points (f,).

98. Définition. — Mais, ayant surtout en vue les continus de points de deuxième espèce, on peut se borner à envisager les ensembles fermés. Alors la condition pour retrouver ces propriétés va s'exprimer très simplement en faisant appel à nouveau aux théories de M. Kréchet.

Nous dirons qu’un ensemble fermé #, de points de deuxième espèce est NoRMAL s'il possède la propriété suivante : 1/ est possible d'associer biunivoquement à %, un ensemble de spécifiques E(#,) de façon que ce dernier soit compact en soi ('}, c'est-à-dire que pour tout sous-ensemble infini de spécifiques appartenant à Z(#,), 1l y ait au moins un spécifique d’accumulation contenu dans E(#,). Il en résulte que l’ensemble ainsi associé X(#,) est fermé (?).

À partir de cette définition, nous sommes à même d'étendre les théorèmes démontrés antérieurement aux ensembles normaux, fermés ou continus, de points de deuxième espèce et d'y ajouter des propriétés particulières à ces ensembles. :

99. Les ensembles fermés. — Désignons par #, un ensemble fermé normal de points de deuxième espèce et soit Z(#,) l’ensemble de spécifiques, compact en soi, qu'on peut lui associer biunivoquement. Démontrons notre proposition fondamentale, c’est-à-dire la continuité dans le sens de #, vers 2(#,) :

Si une suite {M;} de points de %, tend vers un point limute M, la suite | 6;} des spécifiques correspondants a pour limuüte le spécifique 5

de M (*).

En effet, l’ensemble £(#,) étant compact en soi, la suite infinie { Gi} admet au moins un spécifique d’accumulation contenu dans E(#,). Or, tout spécifique d’accumulation des 5; est un triangle isocèle de projetantes de sommet M, seul point limite des M; : c’est donc le spécifique o associé à M, puisque ce point n’a qu'un seul spécifique

dans Z(#, ).