On retrouve donc le théorème général

(1) Cf. M. Frécuer, loc. cit., p. 68 et p. 190.

(2) Si l’on prend sur la demi-ellipse de l'exemple décrit au n° 86 un arc d'extrémité M, on a un ensemble fermé F, (et même un continu) non normal : la suite infinie {o;} des spécifiques, correspondant à une suite { M;} de points tendant vers M, n'admet pas de spécifique d’accumulation dans X(#,).

(*) Ici, ce sont exactement les mêmes hypothèses que pour le théorème général que j'énonce dans la note du n° 74. \

HT ne

La correspondance entre %, et È(#,) est biunivoque et bicontinue.

101. Considérant alors l'écart | o, 9! ] de deux spécifiques-triangles, l’ensemble E(F,) se trouve distancié et, par les mêmes raisonnements que plus haut (n° 77 à 79), on démontre que la correspondance biunivoque entre F, et È(F,) est uniformément continue dans les deux sens.

Aiïnsi, pour deux points de #, infiniment voisins, il existe deux triangles de projetantes infiniment voisins. Donc : les deux plans contenant respectivement les projetantes de deux points de %, infiniment voisins sont eux-mêmes infiniment VOIsins.

102. Ces théorèmes conduisent à des propriétés géométriques de l’ensemble #, :

Le paratingent (voir n° 31) de F, en tout point d'accumulation M se réduit à une droite normale au plan formé par les projetantes de M ().

Considérons une suite { M; ! de points de #, tendant vers M. La suite des spécifiques correspondants {0;} ayant pour limite le spécifique s de M, on peut associer à chaque point M; deux de ses projections A;et B;(sommetsduspécifique-triangle o;= A;M;B;) detelle façon que les suites { A;} et { B;} tendent respectivement vers des projections À et B de M, la figure AMB étant un triangle isocèle véritable. Or, d’après le n° 34, le paratingent en M de la suite {M;} est à la fois contenu dans les plans perpendicülaires en M à MA et à MB : c’est donc l'intersection de ces plans, soit une droite perpendiculaire en M. au plan AMB. La suite considérée { M;} étant quelconque, le théorème est établi.

403. Or, le paratingent en un point d'accumulation M renferme évidemment le contingent (n° 39) en M et son symétrique par rapport à ce point. D'où cette proposition :

En un point d'accumulation M de ,, cet ensemble ne peut avoir qu'une tangente normale au plan formé par les projetantes de M (c’est-

(1) Et, d'après ce qui précède, en deux points infiniment voisins de T,, ces droites sont infiniment voisines.

Ge

à-dire : coincidant avec l'axe de la circonférence de rayon & qu contient les projections de M), et la répartition de ces tangentes est uni formé-

ment continue.

Les projections d’un point M de deuxième espèce sont, en effet, réparties sur une même circonférence de centre M et de rayon p, située dans le plan défini par les projetantes de M. Quant à la continuité uniforme des tangentes à l’ensemble #,, elle résulte immédiatement du n° 101 (').

104. L'hypothèse dont nous sommes partis est essentielle dans le raisonnement et il est facile de concevoir un ensemble fermé non normal qui mettrait en défaut l’énoncé précédent. Soit, par exemple, une surface de révolution fermée convexe (?) ayant une infinité de parallèles anguleux {y;} convergeant vers un parallèle Iui-même anguleux y. Chacun des parallèles y, est un continu normal de deuxième espèce, où notre théorème s'applique en tout point; le parallèle y, envisagé isolément, jouit de la même propriété. Mais si l’on considère l’ensemble total f, des points de ces parallèles, c’est un ensemble fermé non normal; on s’en aperçoit en prenant une suite de points { M;} qui soient respectivement points d’intersection des y; avec une même méridienne de la surface de révolution; cette suite tend vers un point M de y. La suite des spécifiques correspondants { o;} n’a pas de spécifique limite, car elle tend vers une seule projetante de M et non vers le spécifique de ce point. Or, il est clair que l’ensemble fermé f, n’a pas de tangente en M : son contingent est un demi-plan.

405. Les continus. — Désignons par €, un continu normal de points de deuxième espèce et soit E(C,) l’ensemble de spécifiques, compact en soi, qu'on peut lui associer.

(1) L'existence de la tangente en M à #, peut se démontrer directement par un raisonnement tout à fait analogue à celui qui vient de servir pour le paratingent (n° 1402). En considérant une suite { M;} de points de F, tendant vers M, les suites de projections {A;} et {B;} ont respectivement pour limites les points À et B et l’on sait, d’après le théorème des projections IT (n° 21), que la direction limite des demi-droites { MM; } est perpendiculaire à la fois aux projetantes MA et MB, donc au plan AMB, qui est celui formé par les projetantes de M. — D'une manière précise, ce théorème signifie que le contingent de F, en un point M se réduit à une demi-droite ou à deux demi-droites opposées, perpendiculaires au plan des projetantes de M.

(2) Une surface convexe n’est pas seulement un cas limite des ensembles €...

mais un véritable ensemble €. M. (cf., n° 5). È