On en déduit cette importante proposition

L'ensemble de tous les continus normaux de points de deuxième espèce de la frontière K, est dénombrable.

(*) M. Bouligand, qui a introduit le paratingent en Géométrie infinitésimale, en a développé les applications dans sa communication du 6 octobre 1930 à l'Académie de Cracovie. Il définit ainsi des classes étendues de variétés de toutes dimensions dans un espace euclidien quelconque : notamment, dans l’espace ordinaire, les continus, en chaque point desquels le paratingent ne contient aucune droite d’un méme plan, sont des courbes. Ce théorème a été obtenu indépendamment par M. Rabaté qui a signalé, en outre, ce cas particulier : lorsque le paratingent d'un continu se réduit en chaque point à une droite, ce continu est une courbe de Jordan à tangente continue. Ici, on a vu que €, est à tangente uniformément continue.

On trouvera en Appendice (n° 1428) une démonstration développée du théorème utilisé ici.

pere

Désignant toujours par €, un tel continu et par E(C,) l’ensemble de spécifiques qu'on lui associe, on vient de voir que Z(E,) est un continu; nous allons prouver que ce continu occupe un volume non nul.

Soit o=—= AMB un triangle appartenant à X( €, ); prenons un point P à l’intérieur de ce triangle et considérons les triangles de È(C,) infiniment voisins de AMB et situés d’un même côté du plan II de AMB. Il est possible de trouver une longueur / assez petite pour que le plan d’un de ces triangles coupe la sphère S; suivant un cercle situé tout entier dans le triangle. Soit s'= A'M'B' un tel triangle; le cercle intersection C' de son plan Il’ avec S; n’a donc, en vertu des théorèmes d’impénétrabilité (n° 66), aucun point commun avec le cerele c commun à Il et à S;. Or, ces deux cercles c et c’ délimitent une portion & de la sphère S/ dont tous les points appartiennent à Ë(C.) : en effet, les plans des triangles de Z(C,) forment, comme ces triangles, un continu et celui-ci coupe la sphère S; suivant un continu de petits cercles n'ayant deux à deux aucun point commun (‘).

L'ensemble È(C,) forme donc un domaine, de volume non nul, et, toujours en vertu des théorèmes d’impénétrabilité (n° 66), deux de ces domaines, correspondant à des continus distincts, n’ont en commun aucun point intérieur. Il s'ensuit que l'ensemble de ces domaines est dénombrable, comme l’ensemble des continus normaux €..

(:) On peut encore présenter la démonstration sous une autre forme en faisant intervenir la notion d'écart (n° 76). Supposons, en effet, qu'il y ait un point Q de @ n’appartenant pas à Z(C,). Comme cet ensemble de triangles est fermé (voir le début du n° 80), cela implique qu'il n’y a aucun point de X(€,) infiniment voisin de Q, c'est-à-dire qu'il existe une sphère S{ dont aucun point n'appartient à Z(C,). Mais, d'autre part, l’ensemble des triangles étant bien enchaîné, si e est une longueur quelconque, on peut trouver une chaîne par rapport à € entre & et a’, c'est-à-dire une suite finie de triangles o,, 0, ..., ©,

téls*qu'on ait sa )0, etcileD0, (ah Da et (Go Go eto: )on. Si l'on choisit alors & < 2 il existe au moins un domaine (9;). ayant

en commun avec S{ une zone tout entière, limitée par deux cercles contenus dans des plans parallèles situés à une distance 2e; il y a donc des sphères S° de (o;). contenues entièrement dans S{. Or, toute sphère S® de (5;). contient au moins un point de o;,, (voir la note 2 du n° 76), de sorte que SG contient au moins un point de Z(C,), ce qui est contraire à notre supposition.