ÉTÉ

109. Bien que dénombrable, l’ensemble de ces continus normaux peut être partout dense sur la frontière F,. C'est ce qu’on voit en prenant la surface représentée en coordonnées rectangulaires par l'équation 3 — f(x) + #(y), où f(x) et g(y) sont les primitives de deux fonctions croissantes f'(x) et 2'(y) ayant chacune un ensemble de discontinuités partout dense. Par exemple, prenant pour æ un nombre compris entre o et 1 et défini par son développement décimal æ—0,a,a,a,a,..., on pourrait poser f(x) —0,0a,04,043...

La surface représentée par l'équation précédente, pour de tels choix de f(x) et g(y), est une surface de translation convexe. Sur cette surface, les lignes æ— const. et y — const. sont respectivement des continus normaux de points de deuxième espèce et ces lignes forment un ensemble dénombrable, mais partout dense sur la frontière F,.