Nous aurons besoin pour cela du lemme suivant

En un point O du type («,), la surface formée par les points frontières suffisamment voisins de O est dépourvue de plan tangent.

(:) On ne saurait étudier directement l'aire de l’ensemble des points de deuxième espèce, cet ensemble pouvant offrir, comme d’ailleurs la frontière F,, une structure très complexe, tout à fait différente de celle d’une surface définie par des équations æ— f(u, v), y —@(u,#), au, +).

LSGS EE

On a vu, en effet (n°52), que l’ensemble des points frontières suffisamment voisins de O constituent une surface os représentable par une équation 3 — /(æ+, y). Je dis que cette surface n’a pas de plan tangent en O; cela résulte du fait que le contingent (0) de la frontière F, en O est formé des deux faces d’un dièdre (n° 63) dont l’arête passe en O, l'axe Oz étant intérieur au plus petit des deux dièdres ainsi déterminés. Toute tangente en O à une courbe tracée sur la surface

Of

appartient à +(O) et il est impossible que les dérivées partielles >

of

et de existent simultanément au point O; cela impliquerait, en effet,

que les plans +03 et y Oz coupent respectivement la surface suivant une courbe ayant une tangente en O, donc que chacun de ces plans coupe le contingent +(O) suivant une droite, ce qui est impossible puisqu'ils sont rectangulaires ().

1153. Pour démontrer le théorème que nous avons en vue sur l’ensemble F,, nous distinguerons deux cas suivant la valeur de © par rapport au diamètre D de l’ensemble E :

AL. Premiercas :p > D. Onsait alors (n° 59) que la frontière F,

ne comprend que des points (x). D'autre part, nous venons de rappeler que tout point (x) est intérieur à un domaine superficiel 6 représentable par une équation 3 — f(x, y), la fonction f(x, y) étant continue et à nombres ‘dérivés bornés. Ce domaine superficiel & est donc une surface à pentes bornées et appartient à la classe des surfaces rectifiables de M. Henri Lebesgue (?). Or, de telles surfaces possèdent

(1) La même propriété a lieu pour un point (x;), puisque le contingent est la surface d’un cône convexe véritable (n° 63). Mais, dans ce paragraphe, nous laisserons systématiquement de côté les points de troisième espèce pour démontrer au suivant un résultat plus précis : leur ensemble est dénombrable.

(*) M. Henri Lebesgue à introduit sous le nom de surfaces rectifiables une classe fort étendue de surfaces quarrables, qui jouit de propriétés analogues à celles de la famille des courbes rectifiables. Une surface S définie par les équations z— f(u, v), y—vo(u, v), z—V%(u, »), pour un certain domaine D du

plan (w, p), est rectifiable si à toute courbe rectifiable de D correspond une

un plan langent, sauf en des points formant un ensemble d'aire nulle (!). Comme sur © tout point de deuxième espèce est (4,), donc dépourvu de plan tangent d’après le lemme précédent, il s'ensuit que sur c l’ensemble des points de deuxième espèce a une aire nulle.

Mais la frontière F, étant un ensemble fermé, on peut trouver, d’après le théorème de recouvrement de Borel-Lebesgue, un nombre fini de domaines superficiels 5 contenant à leur intérieur tousles points de F,. L'ensemble F, de tous les points de deuxième espèce de la fronuère F, est ainsi inclus dans un nombre fini de surfaces rectifiables (donc quarrables) sur chacune desquelles il a une aire nulle.

" D ; = 115. Deuxième cas : 0 < dogs Décomposons E en un nombre fini n V2

de sous-ensembles e,, 6, ..., e,...,e,, chacun de diamètre d,£o ÿ2. En effectuant la construction de Cantor-Minkowski avec le rayon 0 sur chacun des e;, on obtient n domaines (e;), de frontières respectives /;. Le domaine E, est la réunion des (e;), el tout point de la fronuère étudiée F, appartient à une ou plusieurs frontières partielles f.. Considérons une de ces frontières /;; elle a mêmes propriétés que la frontière que nous venons d'étudier au premier cas : l’ensemble de ses points de deuxième espèce est inclus dans un nombre fini de surfaces rectifiables sur chacune desquelles il a une aire nulle. Réunissons maintenant les domaines (e;), deux par deux de toutes

courbe rectifiable de S. Une surface rectifiable peut cesser de l’être si l’on change de représentation paramétrique. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface soit donnée sous forme rectifiable estque f(u,v),o(u,v), bu,v), considérées comm fonctions de la seule variable « ou de la seule variable », aient des nombres dérivés bornés (H. Leresque, These, n° 70).

(*) RanemacHer, Ueber partielle und totale Differenzierbarkeitvon Funktionen mehrerer Variabeln (1, Math. Ann., t. T9, 1918, p. 340; I, tbid., t. 81, 1920, p. 2). Ce théorème, qui met en jeu la différentielle au sens de Stolz, a été repris et étendu par M. Srepanorr | Ueber totale Differensierbarkeit (Math. Ann., t. 90, 1923, p. 318)] et par M. R. Cacciorrout | Sulla differenstabilità delle funziont di più variabili (Rend. della R. Acad. di Napoli, 1. 34, 1928) |. Sur l’équivalence entre l'existence du plan tangent (au sens classique utilisé au n° 442) et celle de la différentielle de Stolz pour une fonction z— f(x, y), voir M. Frécuet, Sur la notion de différentielle totale (Nouv. Ann., 4° série,

ÉD p | E

les manières possibles et considérons l’une des frontières ainsi obtenues : soit /;;, par exemple; la frontière de (e;),+(e;),. Cette frontière /;; est susceptible de contenir des points (6) et le raisonnement précédent ne saurait s’y appliquer; nous allons donc raisonner sur l’ensemble f, des seuls points («,) de f;;. — Tout point de /,, est ancore intérieur à un domaine superficiel o d’équation 3 = f(x, y), la fonction f(x, y) étant à nombres dérivés bornés, c’est-à-dire à une surface rectifiable sur laquelle l’ensemble des points (x,) a une aire nulle. L'ensemble f,, n'étant pas nécessairement fermé, on peut lui appliquer le théorème de recouvrement de Lindelôf et le recouvrir avec une famille au plus dénombrable de surfaces o, de sorte que f,, est ainsi inclus dans une famille dénombrable de surfaces rectifiables de la forme z — f(x, y) sur chacune desquelles il a une aire nulle.

Mais tout point de /;; appartient à l’une au moins des deux frontières /; ou /;; chacune de ces frontières étant contenue, comme on l'a vu au premier cas, dans un nombre fini de surfaces rectifiables de la forme 3 — f(x, y), il en est de mème de /;;. L'ensemble f, est donc inclus dans un nombre int de surfaces rectifiables de la forme 3 — f(x, y)et, en vertu de la propriété ci-dessus, on peut démontrer (‘) qu'il a une aire nulle sur chacune de ces surfaces.

En définitive, la propriété cherchée a lieu pour l’ensemble des points de l’espace qui sont (4, ) soit sur une /;, soit sur une /;;, car les f; et les /;; sont en nombre fini. Pour montrer que cette propriété appartient à l'ensemble F, de tous les points de deuxième espèce de Réal suffit donc de prouver que tout point de F, revêt le type («,) soit sur une /;, soit sur une /;;. En effet, tout point de F, appartient à une ou plusieurs /; sur chacune desquelles il revêt le type (x, ) ou (x), puisqu'une /; n’a que des points (x). Si un tel point M n’est pas (&,) sur une /;, c'est qu'il appartient à plusieurs /; sur chacune desquelles il a le type (x, ). Or, d’après sa définition, M possède certainement deux projetantes non opposées MA et MB, le point A étant dans un ensemble e; et le point B dans un autre ensemble e, : le point M est donc bien (%,) sur la frontière /;;.

Le théorème annoncé est donc établi en toute généralité.

(') Cette démonstration est développée en Appendice (n° 480).

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