RITES

ces deux points. Cette dernière forme de l'énoncé se généralise aisément au cas de » points : la région offerte aux projections de l’un d’eux est sur la frontière obtenue par la construction de Cantor-Minkowski effectuée sur l’ensemble de ces points : c’est la portion de cette frontière située sur la sphère ayant pour centre le point considéré (c’est-àdire : un ou plusieurs polygones de cette sphère, limités par des arcs de circonférence).

Ces propriétés font entrevoir, entre la frontière et ses projections, une certaine réciprocité, qui sera bientôt précisée ($ IT).

Du lemme des deux points découleront nos théorèmes d’impénétrabilité (n° 65) et plusieurs autres conséquences importantes (n° 35, 48

et 50).

17. Théorèmes des projections ('). — Passant du point de vue fini au point de vue infinitésimal, occupons-nous maintenant des projections d’un point frontière infiniment voisin d’un point fixe M. Nous allons démontrer que ces projections : ou bien $ont des projections de M, ou bien sont infiniment voisines de projections de M et, dans ce cas, tendent vers ces dernières perpendiculairement à la projetante correspondante. Pour plus de clarté, nous donnerons deux énoncés distincts.

I. Soit & (M) le système des projections sur E d’un point frontière quelconque M. À toute longueur donnée €, on peut faire correspondre une longueur r telle que, M' étant un autre point frontière, A! une quelconque de ses projections, l'inégalité MM' < n entraine :

dist{A’,&(M)]<s (?).

Supposons, en effet, qu'il n’en soit pas ainsi. Alors on peut trouver

une suite infinie de points frontières {M;} tendant vers M, telle que

chaque M; possède une projection au moins A; située à une distance de &(M) supérieure à une longueur fixe.

(1) Sous-entendez : d’un point fixe et d'un point infiniment voisin.

(2) La distance d’un point A’ à un ensemble 5 (M) est la borne inférieure de la distance du point A’ à un point de 5 (M). Cet énoncé peut se traduire géométriquement : si l’on effectue sur & (M) avec le rayon arbitraire e la construction de Cantor-Minkowski, donnant naissance à l’ensemble ouvert [w (M) k, l’inégalité MM’ < n entraîne que &(M') est tout entier intérieur à kw(M)}..