TEL

Deux points frontières distincts pouvant avoir une projection commune, examinons cette suite { A;} en considérant chaque point avec son ordre de multiplicité en tant que projection, c’est-à-dire qu'un point A; sera compté comme » points confondus s’il est projection de » points M;. — La suite { A;} est alors infinie et elle possède au moins un point d’accumulation À pour lequel on doit avoir, si la supposition qu'on vient de faire est exacte : dist[ A, &(M)]2e.

Or, je dis que c’est impossible et que tout point d’accumulation A de la suite { A;} est une projection de M(‘). En effet, comme le point A; est sur la surface de la sphère S£ et que les sphères { S£ } tendent vers la sphère Sf, le point À est nécessairement sur la surface de Sf. De plus, l’ensemble E étant fermé, À appartient à E : c’est donc une projection de M. Il est ainsi démontré que la distance des points A; à (M) ne peut demeurer supérieure à une longueur fixe.

48. Ce théorème devant jouer un rôle essentiel, il importe d’en bien préciser la signification et de mettre en garde contre certaines erreurs auxquelles pourrait conduire une interprétation hâtive.

Tout d’abord, dans le raisonnement précédent, le point M est supposé fixe. Il ne faudrait pas croire qu’à tout € on puisse faire correspondre un n tel que, Met M' étant deux points frontières quelconques, l'inégalité MM'< n entraîne :

dist[æ(M), &(M')]<e (?)

Il suffit, pour s’en convaincre, de considérer le cas où E se réduit à deux points A et A'(AA/< 20). En prenant M sur la sphère Sf, M' sur la sphère SK, ces deux points peuvent être aussi voisins qu'on le veut tandis que leurs projections respectives sont toujours distantes de la longueur du segment AA’.

19. Notons encore ceci: soit M un point frontière; en vertu de notre théorème, toute projection A’ d’un point frontière M' infiniment voisin de M est une projection de M ou bien est infiniment voisine d’une projection de M. Mais la réciproque n’est pas exacte : il se peut qu'une projection À de M soit à une dis-

(:) On verra au n° 50 que cette projection À est sur la surface du plus petit cône convexe enfermant les projetantes de M.

(2?) La distance de deux ensembles, &5(M), &(M'), est la borne inférieure de la distance d’un point de l’un à un point de l’autre.

tance finie de toute projection de M’(:). Pour le voir, reprenons l'exemple précédent et supposons que M appartienne à l'intersection des deux sphères Si et SF, tandis que M’ est choisi sur la sphère Sf; alors la projection unique A’ de M’ se trouve confondue avec une projection du point M, mais ce point possède une

seconde projection À, située à une distance finie de &(M'), lequel est identique à A'