Le théorème 1 se complète par ce second énoncé

Il. À tout angle donné à, arbitrairement petit, correspond une longueur n telle que, pour deux points frontières quelconques M et M' ayant respectivement des projections À et AÀ', les deux inégalités simultanées

RTS DD Dee MM'<ynet AA'< n entrainent que les angles MAA', M'A'A, AMM',

PARTS AM'M diffèrent d’un angle droit de moins de «.

ARS | Considérons l’angle MA A’ et supposons qu’on ait à la fois MM'<€

et AA’<"n; nous allons démontrer que la différence entre MA etun angle droit est infiniment petite avec n.

En effet, les deux inégalités précédentes signifient que A' et M'sont respectivement à l’intérieur des sphères Si et Sf. Mais M’, étant point frontière, n’est pas intérieur à Sf; donc, en définitive, M' est situé dans la région & de Sÿ non intérieure à Sf. Comme A'M'—», le point A' est intérieur au domaine @, obtenu par la construction de Cantor- Minkowski effectuée sur & avec le rayon e.

Désignons par y le demi-cône circulaire de sommet A ayant pour directrice la circonférence intersection de Sf et Sÿ, et soit y’ celui des deux demi-cônes supplémentaires de y qui ne contient pas y à son intérieur. Il est aisé de voir qu'aucun point de R, n’est intérieur à y’; en effet, une sphère S$ centrée en un point P de @& n’a aucun point commun avec y’ si P est extérieur à Sf (car P est intérieur à y) et elle a le seul point À en commun avec y’ si P est sur la sphère S£. Il en résulte que le point A’ est dans 57, à l'extérieur de y.

D'autre part, le point À n’est pas intérieur à Sf (critère de position 2°;

(?) Géométriquement, cela signifie que tout &(M') est intérieur à [5 (M)}., mais par contre &(M) n'est pas nécessairement à l’intérieur de [æ(M') |.

aire

n° 13). Finalement, ce point est au voisinage de À, entre la sphère S; et le cône y’. Or, si n est infiniment petit, l'angle d’une génératrice de y’ avec le plan tangent en À à S£ est lui-même infiniment petit et

l'angle MA est bien infiniment voisin d’un angle droit (').

Comme les points M et M' jouent le même rôle dans la démonstraton précédente, il suffit de reprendre le raisonnement en permutant les lettres M et M’, À et A’, pour obtenir la propriété énoncée pour

: É Er l’angie M'A'A.

Enfin, en permutant les lettres À et M, on démontre la même pro-

Le LS AS priété pour les angles AMM' et AM'M.

21. Nos théorèmes des projections sont susceptibles de trouver leur application chaque fois que l’on considère une suite infinie quelconque de points frontières {M;} tendant vers un point M. Associons à chaque M; une de ses projections A; et considérons cette suite { A;} en convenant, comme au n° 17, d'envisager chaque A; avec son ordre de multiplicité. Alors la suite { A;} est infinie et elle admet un ou plusieurs points d'accumulation À, A', A", ...

On sait d’abord que chacun de ces points d'accumulation est une pro- Jection de M (théorème I, n° 17)(?).

Extrayons de la suite { A;}des suites partielles | A;},{A,},!A,),..., admettant respectivement les points À, A’, A", ... pour points limites, et soient {M;},{M,}, M,}, ... les suites de points frontières correspondants. Si les suites | A), A;},!A;},... ont une infinité de points

: PAR NET RSS distincts, le théorème IT (n° 20) s'applique aux angles MAA;, MA'A,;, MArÀ, .., qui tendent respectivement vers un angle droit, puisque les distances MM, et AA, MM, et A'’A,, ... tendent respectivement vers zéro.

(‘) D'une facon précise, un calcul élémentaire montre que la différence

LS (9 e2e

PRET) an RCE Fe MAA/— — est < 2 arc sin—; de sorte que, pour satisfaire à la condition 5 p

re 29 ; Er de l'énoncé, c'est-à-dire pour avoir d < &, il suffit de prendre n <p sin a (2) Cet énoncé sera complété au n° 50.

SR Mais, dans tous les cas, cette propriété a lieu pour les angles en M,

re c’est-à-dire les angles AMM,, A'MM;, A'MM,, ..., qui tendent respectivement vers un angle droit, la démonstration que nous avons faite étant toujours valable, que les suites { A;}, ... aient une infinité de points distincts ou non (‘).