III. — Correspondance des projections avec la frontière

22. Tandis que tout point frontière a toujours au moins une projection, un point de E n’est pas nécessairement une projection d’un point de la frontière. D'où la nécessité d'introduire la notion de front de E pour la distance p; M. Bouligand (?) appelle ainsi le sousensemble +, de E tel qu’une sphère SF centrée sur +, possède sur sa surface un point au moins de la frontière F,; +, est encore l’ensemble des projections sur E de tous les points frontières.

Guidé par l’idée de regarder les points de E comme des obstacles au déplacement d’une bille sphérique impénétrable, M. Bouligand a fait, des fronts successifs d’un ensemble E, une étude intrinsèque et indépendante des relations qu’ils entretiennent avec la frontière correspondante F,.

Pour qu'un point A de E appartienne à ©, il faut et 1l suffit, d’après les critères de position (n° 13), qu'on puisse faire passer par À une sphère de rayon o n’enfermant aucun point de E : le centre M d’une telle sphère appartient, en effet, à la frontière F, lorsqu'on effectue sur E la construction de Cantor-Minkowski avec le rayon o.

Considérons alors l’enveloppe (au sens du n° 6) des sphères S? qui

(1) Dans cette seconde éventualité, les A ;, à partir d’une certaine valeur de y, sont confondus avec À ; or, À étant une projection de M, les M; correspondants sont situés sur Sf, et la limite des demi-droites { MM; } est une tangente à cette sphère. Réciproquement, chaque fois que l'on considère une suite { M;} pour laquelle chaque M; a une projection À; non contenue dans &(M), on est assuré que la suite { A;} comprend une infinité de points distincts.

(?) G. Boucigann, Problèmes connexes de la notion d'enveloppe de M. Georges Durand (C. R. Acad. des Sc., t. 189, 1929, p. 446); Sur les fronts successifs d’un ensemble de points (Ibid., p. 796)..

n’enferment intérieurement aucun point de E et qui sont centrées aux différents points d’une région quelconque bornée de l’espace contenant tout l’ensemble E (un cube, par exemple); de la condition nécessaire et suffisante énoncée ci-dessus, il résulte que +, est l'ensemble des points communs à celte enveloppe ct à l’ensemble E (!) : étant le produit de deux ensembles fermés, le front +, est un ensemble fermé, pouvant d’ailleurs se réduire à un nombre fini de points.

23. Il existe entre la frontière F, et Le front ©, une réciprocité qu'on peut préciser par les énoncés suivants :

a. Le front ©, est une partie de la frontière obtenue en effectuant sur F, la construction de Cantor-Minkowskt avec le rayon o:

6. La frontière F, estune partie de la frontière (ou toute la frontière) obtenue en effectuant sur ©, la construction de Cantor-Minkowski avec le rayon €.

La propriété a se vérifie immédiatement. Désignant par W, la frontière obtenue à partir de F, avec le rayon p et par F,, la frontière obtenue à partir de E avec le rayon 29, on a, de façon plus précise :

(‘) On détermine ainsi un sous-ensemble de l’ensemble E donné, tel que la construction de Cantor-Minkowski, effectuée sur ce sous-ensemble avec le rayon p, donne naissance à une frontière comprenant tous les points de F,.

Ce problème conduit à se poser une question plus générale : étant donné un ensemble €. M. (n°5), soit À,, déterminer l’ensemble E qui, par la construction de Cantor-Minkowski, donne naissance à une frontière comprenant Ë,. 11 va de soi qu’on obtient toujours un ensemble répondant à la question en prenant la réunion des centres de toutes les sphères SP qui passent par les différents points de Ë, sans enfermer intérieurement un point de Z;. Mais il se peut qu’un autre ensemble conduise au même résultat et le problème est alors indéterminé.

Par exemple, Z, étant une portion de surface plane, on pourra prendre pour E soit les deux surfaces se déduisant de À, par une translation d'amplitude p normalement au plan de Ë,, de part et d'autre de ce plan, soit l’une seulement de ces surfaces. Et si À, est la surface d’une sphère de rayon R > p, E pourra être indifféremment : les surfaces de deux sphères de rayons R — p et R + p, la surface d'une seule de ces sphères, ou encore une sphère pleine de rayon R— 0.