RHODES

La frontière W, est constituée par le front +,, la frontière F,, et enfin par un troisième ensemble Ÿ qui peut étre vide.

En effet, pour montrer qu’un point P appartient à W,, il suffit de faire voir que la sphère S£ possède un point de F, sur sa surface, mais n'en contient intérieurement aucun (critère de position, 2°; n° 13). Or, c'est Le cas de tous les points du front +,, par définition.

Soit maintenant P un point de F,,. D'après le même critère de position, la sphère S'° possède sur sa surface au moins un point A de E, mais elle n’en possède aucun à son intérieur. La sphère S£est tangente à S£ en un point M, et la sphère S£, tangente intérieurement à SF en À, ne possède, comme S$, aucun point de E à son intérieur. Le point M appartient donc à F,, toujours en vertu du même critère de position. Par suite, la sphère S$ possède bien un point de F, sur sa surface; mais elle n’en possède aucun à son intérieur, puisqu'il n'y a aucun point de E à l’intérieur de S;’ ; en définitive, P est bien contenu dans W”,.

Aïnsi, la frontière W°, contient le front +, et la frontière F,,. Pour avoir un exemple où W, comprend un troisième ensemble 4, on peut prendre pour ensemble E la surface d’un hémisphère de centre O et de rayon R <{ +. Outre le front +, (ici identique à E) et la frontière F,,, la frontière W, comprend la surface d’une calotte sphérique de rayon p, intérieure à l'hémisphère donné, ayant son centre M sur le demiaxe OX de cet hémisphère (dirigé vers l'extérieur), à une distance QUIEN SESRT

.Relativement à la propriété b, il suffit de constater que F, n'est pas toujours toute la frontière obtenue à partir du front o,. Prenons pour ensemble E une sphère pleine de rayon R © p; le front +, est la surface de cette sphère, et la frontière F, comprend la surface d’une sphère de rayon R+0. En effectuant la construction de Cantor- Minkowski sur le front seul, on obtient pour frontière les surfaces de deux sphères de rayons respectifs R + 9 et R— o.

24. Théorème inversé des projections. — Le lemme des deux points et les théorèmes des projections sont à la base de la correspondance de F, avec o,; on prévoit que, pour la correspondance inverse, nous

of Es

aurons des énoncés tout analogues. Il suffira de démontrer le suivant que nous appellerons théorème inversé des projections (*) :

Soit | À} une suite de points de E tendant vers un point À. St chaque sphère SK, possède un point frontière M, tout point d’accumulation de la suite | M;{ (?) est un point frontière situé sur la sphere SX.

Désignons par M un point d’accumulation quelconque de la suite | M;}. Ce point appartient à la frontière F,, car toute frontière est un ensemble fermé. De plus, le point M; étant sur la sphère S£, et la suite { Sf } ayant pour limite la sphère S£, le point M est nécessairement sur cette dernière (*).

25. Il résulte immédiatement de l'énoncé précédent que les A; et le point À appartiennent au front ®,, puisque toute sphère S£ est supposée donner naissance à un point frontière M; et que +, est fermé. D'autre part, ce théorème, complété par le théorème II (n° 20), est susceptible de s'appliquer chaque fois que l’on considère une suite infinie quelconque de points { A;} du front, tendant vers un point A. En

(*) De la même facon, nous aurions le LRMME INVERSÉ DES DEUX POINTS, dont la démonstration directe est immédiate :

Considérant deux points du front À et À, les points frontières situés sur les sphères de centres À et A’ sont respectivement du même côté que le centre correspondant par rapport au plan médiateur de AA’ (ou dans ce plan).

En eflet, M étant un point situé du même côté que À, on a MA < MA; lors de la construction de Cantor-Minkowski effectuée avec le rayon A’M, le point M serait intérieur à la sphère de centre A, donc ne serait pas frontière.

Cette proposition s'étend, comme Île lemme des deux points, au cas d’un nombre quelconque de points du front considérés simultanément.

(2) Chaque point M; étant compté avec son ordre de multiplicité, c’est-à-dire qu'un point M; est compté pour p points confondus s'il a p projections dans la suite { A;}.

(*) Remarquons que, pour ce théorème inversé, on peut se dispenser de tout raisonnement en tenant compte de la réciprocité signalée plus haut (n° 22). Les points À; sont des points frontières dans la construction de Cantor-Minkowski effectuée sur les M; avec le rayon p et l'énoncé précédent peut alors se traduire :

chaque A; ayant une projection M;, tout point d'accumulation de la suite { M;} est une projection de A. Dans ces conditions, la démonstration du n° 17 s’applique aux points M; et fournit le résultat cherché.

associant à chaque A; un point frontière M; situé sur la sphère Sf, et en comptant toujours chaque M; avec son ordre de multiplicité, cette suite { M;} est infinie. Alors, chacun des points d’accumulaton M,

M',M/",... de cette suite est un point frontière ayant une projection en A. De plus, extrayant de la suite { M;} des suites partielles {M;}, {M4}, {M}, ... convergeant respectivement vers les points M,

TRS TRS TES :

M', M", ..., les angles AMM,, AM'M,, AM’M,, ... ont respecticement pour limite un angle droit, si les suites {M;},{M,}, {M}, ... ont une infinité de points distincts et, dans tous les cas, les angles

LAS ASS Un à ’ MAA,, M'AA;, M'AA,, ... existent et tendent respectivement vers un

angle droit.

26. Applications. — Les lemmes et les théorèmes précédents sont fondamentaux dans l'étude des deux correspondances inverses que nous avons définies. Ils nous conduiront à diverses propriétés de la frontière F,, mais auparavant il nous faudra distinguer plusieurs classes ou plusieurs espèces de points frontières. Pour l'instant, nous nous bornerons à quelques applications simples qui seront utilisées plus tard.

27. Les projections d’un ensemble fermé. — Les projections d'un ensemble fermé de points frontières constituent un ensemble fermé (ou réduit à un nombre fini de points).

Soit # un ensemble de points frontières qui, par hypothèse, est fermé; désignons par & (4) l’ensemble de toutes les projections des points de #. Si &(#) ne se réduit pas à un nombre fini de points, il existe au moins un point À vers lequel converge une suite { A; } extraite de &(#) et il faut démontrer que À est contenu dans &(#).

À chaque A; correspond au moins un point M; de 4. Considérons cette suite { M;}, en y regardant toujours chaque point avec son ordre de multiplicité. Alors, cette suiteestinfinie et possède au moins un point d'accumulation M contenu dans #, puisque # est fermé. Mais on sait, d’après le théorème inversé des projections (n° 24), que tout point d’accumulation M de la suite {M;} est un point frontière ayant une projection en À ; le point À, étant ainsi projection d’un point de #, est donc bien contenu dans &(# ).

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28. Les projetantes d’un ensemble fermé. — Si, au lieu d'étudier seulement la correspondance entre les points frontières et leurs projections, on envisage la correspondance entre ces points et leurs projetantes (‘), on est amené à considérer des ensembles de segments de même longueur &.

Soit { A;M;} un tel ensemble (?) formé par les projetantes des points frontières M;. La considération de cet ensemble revient à celle de deux ensembles de points : les A; et les M;, en comptant toujours chaque À; et chaque M; avec son ordre de multiplicité. Si les { A;M;} sont infinis, les deux ensembles { A;} et { M;} sont eux-mêmes infinis. Un segment AM — bo est segment d’accumulation des A;M; si les extrémités À et M sont respectivement des points d’accumulation des A; et des M;. On remarque que si un point M est point d’accumulation des M, il y a au moins une projetante d’accumulation d'extrémité M, en vertu des théorèmes des projections (n° 21) : on peut, en effet, à la suite partielle {M,.}, tendant vers M, associer une suite de projections { À, } telle que tout point d’accumulation des { A, } — et il y en a certainement au moins un — soit une projection de M. De même, tout point d’accumulation À des A; donne naissance à une projetante d’accumulation, au moins, issue de À, d’après le théorème inversé des projections (n° 25). Le lemme de Weierstrass-Bolzano s'appliquant évidemment à nos deux ensembles de points { A;} et {M;}, il est clair que tout ensemble infint de projetantes admet au moins une projetante d’accumulation. Si cette projetante d’accumulation est unique, nous pouvons dire, avec la terminologie actuellement admise, que l’ensemble considéré a une projetante limite (*); dans ce cas, chacun des

(:) Une telle correspondance sera utilisée au Chapitre II.

(2) Remarquons que la notation adoptée ne suppose pas dénombrable l’ensemble de projetantes considéré, et il va de soi que les considérations qui suivent sont valables pour un ensemble absolument quelconque.

(5) Ces notions de projetante d’accumulation et de projetante limite ne sont, dans le cas particulier d’un ensemble de segments de même longueur p, que l'application des notions d'ensemble d’accumulation et d'ensemble limite introduites par Janiszewski ( Thèse, Paris, 1911, p. 15) pour une infinité d’ensembles quelconques. L'ensemble d’accumulation de Janiszewski serait ici l'ensemble de toutes les projetantes d’accumulation, c'est-à-dire encore l’ensemble dérivé des À,M,;, et l’ensemble limite serait la projetante limite, quand elle existe.

LRO

ensembles { A;} et {M;} a lui-même un point limite unique. Les définitions connues pour un ensemble de points s'étendent donc immédiatement à l’ensemble des A;M;: par exemple, un ensemble de projetantes est fermé s'il contient toutes ses projetantes d’açcumulation.

29. Du théorème démontré plus haut (n° 27), on déduit ce premier corollaire :

L'ensemble des projetantes d'un ensemble fermé de points frontières est lui-même fermé.

950. Considérant un ensemble fermé # de points frontières, l’ensemble de tous les rayons de longueur & aboutissant aux points de est donc fermé. Mais il peut exister dans # des points de multifurcation (n° 1#) possédant deux projetantes opposées, sans détriment d’autres possibles. Deux telles projetantes forment un diamètre de longueur 29, attaché au point frontière correspondant, et si l’on envisage un ensemble de ces diamètres, on peut lui étendre les notions de diamètre d'accumulation, de diamètre limite, etc., exactement comme on l’a fait pour des segments de longueur 5. Lie même théorème nous fournit alors cet autre corollaire :

L'ensemble des diamètres attachés à un ensemble fermé de points frontières quelconques est lui-même fermé.

Toutes ces considérations seront utiles au Chapitre III ($ HE), où nous ferons correspondre à un point frontière une figure formée avec les projetantes du point.

51. Le paratingent d'une suite de points frontières. — La notion de paratingent à été introduite par M. G. Bouligand (‘). Le paratingent

(!) G. BouLiGanD, Sur quelques applications de la théorie des ensembles à la Géométrie in finitésimale (Bull. de l'Académie polonaise des Sciences et des Lettres, 6 oct. 1930, p. 407). Le paratingent, de même que le contingent (n°39). est susceptible de se définir comme un ensemble limite (voër G. RaBarTé, Thèse, Toulouse, 1931, n° 11 brs).

LR ON TEL

en un point d'accumulation O d’un ensemble donné est le système des droites A'OA telles qu’il existe des cordes 0,0, joignant deux points de l’ensemble O; et O; arbitrairement voisins de O et faisant avec A'OA des angles arbitrairement petits. Le théorème que nous avons en vue est le suivant :

Soit { M;} une suite de points frontières tendant vers un point M. Si chaque M; possède une projection À; telle que la suite { A;} converge vers un point limite À, le paratingent en M de la suite { M;} est tout entier dans le plan perpendiculaire en M à AM.

On sait déjà que le point À est une projection de M (n° 24). Soit II le plan perpendiculaire en M à AM, c'est-à-dire le plan tangent en M à la sphère S£.

Considérons une suite quelconque de cordes { M;M,}, les points M; et M, appartenant à la suite {M;}. Nous allons montrer qu’à partir d’une certaine valeur des indices ; et #, la corde MM; fait avec le plan IT un angle arbitrairement petit. En effet, pour j et # suffisamment grands, les points M; et M, sont tous les deux à l’intérieur de la sphère Si, tandis que A; et A; sont dans la sphère Sf, e étant arbitrairement petit. [l s'ensuit que M, est dans la sphère S$ et A, dans la sphère S$. Alors, d’après le théorème des projections IL (n° 20), l’angle de la droite M,M, avec AM; est arbitrairement voisin d'un angle droit. Mais les deux segments AM et A,;M; forment entre eux un angle arbitrairement petit. Il en résulte que l’angle fait par M;M, avec AM est lui-même arbitrairement voisin d'un angle droit ou que la limite de toute corde M;M,; est bien dans le plan IT.

Ce théorème sera appliqué au Chapitre III (n° 102) pour montrer que certains continus de points frontières forment des arcs rectifiables.

THÈSE G. DURAND. n