C. R., 1898. 2" Semestre. (T. CXXVII, N
observe ce diajîhragme. Il est même probable que c'est la durée du stade en question qui permet à l'anneau de s'épaissir, souvent d'une façon notable, du côté externe surtout, là où il se raccorde avec la paroi de la cellule-mère.
» Pendant les propbases de la seconde division nucléaire, le pont protoplasniique, qui réunit les deux moitiés de la cellule-mère, ne change presque pas d'aspect. Mais, dès que les deux nouvelles paires de noyaux ont pris naissance dans leur compartiment respectif, des fils cytoplasmiques partant des pôles de chaque fuseau nucléaire viennent traverser le pont dans toute son épaisseur, préparant aussi l'achèvement de la cloison restée incomplèle. Cet achèvement se protînit, en effet, un peu avant que les deux cellules-fdles ne se cloisonnent à leur tour ; ce second ou dernier cloisonnement commence d'ailleurs de la même façon que le premier, mais il est plus rapide et se continue sans interruption jusqu'à la division complète des cellules-filles.
» En résumé, au point de vue de la formation des cloisons dans la cellule-mère pollinique, les Magnolia offrent un cas tout particulier, encore inconnu chez les juitres plantes. Ils sont intermédiaires enti'e les Monocoty'édones et les Dicotylédones; mais, par l'apparition d'une cloison incomplète (pouvant même exceptionnellement se comj)léter), aussitôt après la première bipartition nucléaire, ils se rapprochent plus, en réalité, des premières que des secondes. »
ARITHMÉTIQUE. — Extension du n° 162 des « Disqiàsiliones arithmeticœ » de Gauss. Note de M. de Jo.vquîères.
« I. Le problème dont je donne une nouvelle solution est, en quelque sorte, le comjjlément de celui que Gauss a tiaité dans la pi'emière moitié du 11° 162 des Disquiiitiones, où il se propose, lorsque l'on connaît deux transformations semblables d'une forme quadratique F = (A, B, G^ en une seule et même autre forme/= (a, b, c), d'en déduire une solution de l'équation indéterminée t- — Da- = -1- i (ou, plus généralement, l- — D«- = -h ni^, m étant le plus grand commun diviseur des trois nombres a, ib, c). Le point de départ et le but de la présente Note sont du uiéme ordre, mais d'espèce différente; on y suppose connues deux traiisfortiîations semblables de la forme F, l'une en la forme/' =; (a, b, c), l'autic en l'inverse de celle-ci /'= (— n. A, — c); ce qui n'est pas possible généralement, mais se pré-
( 5<)7 ) sente dans une infinité de cas, en particulier quand le déterminant D est un nombre premier de la forme 4'^' -f- i- A l'aide de ces seules données, il faut trouver une solution de l'équation indéterminée t- — Dm^ ^ — i, ou plus généralement = — m- .
» Gauss, dans son Ouvrage, ne s'occupe pas spécialement de cette dernière équation qui, parle fait, se trouve ainsi reléguée, sansêtre mentionnée, parmi l'infinité de celles que le n° 205 apprend <à résoudre. En cela, Gauss n'imite pas Lagrange, son devancier, dont la marche, uniforme dans celte double question, aboutit, par une succession indéfinie d'étapes alternatives et périodiques, tantôt à la solution de cette dernière équation (lorsque la valeur de D la rend possible), tantôt à celle (toujours résoluble) de la première. Si l'on songe au rôle fondamental que celle-ci joue dans la résolution générale des équations indéterminées du second degré, on s'explique suffisamment le silence de Gauss, qui voulait être bref à cause de l'encombrement des matières dont il avait à parler ('). Néanmoins il semble qu'il y ait un certain intérêt à faire voir que la question dont il s'agit (et que l'on sait résoudre autrement) peut être traitée en employant exclusivement des procédés analogues à ceux dont l'illustre auteur se sert pour résoudre le problème qu'il a abordé, mais en les appropriant à leur nouvelle destination. Cette extension jette, en effet, une nouvelle lumière sur l'article 162.
» II. Adoptant les notations de l'article précité, on a dans ce cas les six équations
(l) Aa--1- 2Ba.y -h Cy^= «,
(3) Aoc!3-l-B(a<^^-SY)-^-CYS = Z»,
(■;) Ap=-f-2BfiS-l-CS2 = c.
(') J'ai fait allusion à ce silence de Gauss dans une note de ma Communication du 2- juin 1898, et j'j- annonçais brièvement la possibilité d'étendre les formules données par lui au cas que je traite aujourd'hui, sous-entendant d'ailleurs que ces formules subiraient les modifications nécessaires. A propos de cette Communication du 27 juin, je profite de l'occasion (qui, depuis cette époque, se présente à moi pour la première fois) pour restituera M. Tano la priorité du théorème qui y figure sous le n°I, et ([ue je croyais nouveau. Il a été démontré par cet auteur, d'une façon d'ailleurs toute différente, en 1890, dans le Bulletin des Sciences mathémaliques. Je dois cet obligeant renseignement à M. l'Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées Neni, qui a bien voulu m'en fournir aussi une autre démonstration, dont il est l'auteur, mais qu'il n'a pas publiée.
(2) Aa'=+ 2Ba'y'-f- Cy'-= — a,
(4) Aa'p'+ B(a'â'+ p'y') 4- €/§'= 6,
(6) Apy=+2B:i'S'+CS'-= - c,
» Si l'on multiplie (i) par (2), et qu'on fasse
(I) a'= Aaa'-i- B(ay'+ a'y) + ("yy',
on en déduit
(7) a'- — D(— ay'+ a'y)'= — a\
» Si l'on multiplie (i) par (4) et (2) par (3), et qu'on retranche le premier produit du second, en écrivant
(II) ih'^ A(- «[i'+ a'li) + B(- c,^' + a.'o + Py'" P'ï) + C(- yS' + y'S),
on obtient
(8) 2a'Z>'— D(— ay'+ a'y)(aS'+ x'S - ^y'— ^'y) = - lab.
» Si l'on multiple (i) par (6) et (2) par (5), qu'on ajoute ces deux produits et qu'on en retranche le double du produit de (3) par (4), on trouve d'abord
4^'' — D| (aS'+ (x'â — py' — P'y)' — 2ee' j = — ib- — 2ac, et, à cause de zee' = ib'- — lac, il vient
(9) 4i"-D(aS'+a'S — py'— ji'y)' = -4è^ )) Si l'on multiplie (3) par (4), en faisant
(HT) c'= - (App'+ B(pS'+ P'S) + CS?'),
on trouve
(10) a'c' — D(— ay'-t- a'y)(pS' — [i'(5) = — ac.
» En relianrJtant du produit de (3) par (6) celui de (4) par (5), on obtient
(11) 2b' c'- D((iS'-(3'?))(y.S' + oc'S- py'— (il'y) =: — aZ'C.
( 599 ) » Enfin, multipliant (5) par (6), on trouve
(12) c = — D'^iâ'- 3'â'' = -r■^
» Actuellement soit m le plus grand commun diviseur des nombres a, ih, c, et déterminons trois nombres A', B', C de manière qu'on ait A'a -+- 2.B'b + Ce = m, et multiplions respectivement (7), (8), (9), (10), (11), (12), par xV-, 2A'B', B'*, 2A'C', iB'C, C'-, et ajoutons tous ces produits. On voit que la somme des termes du second membre est égale au carré, pris négalwement, de A'a -\- aB'è -l- Ce, c'est-à-dire à — m-. Quant à la somme des termes des premiers membres, on la trouve égale à T- — DU-, si l'on écrit
(14) A'(aY' — a'y)-t-B'(- ''-S' - a'S + |3y' -1- p'y) 4- C'(- ?S' -1- ^'S) = U.
» En résumé, on a T" — DU^ = — m-, T et U étant manifestement entiers.
» Ainsi, d'après cette anahse, la solution de l'équation indéterminée t- — Di/- = — m- (et, en particulier, celle de i- — Du- ^ — i) dépend, lorsqu'elle est possible, de deux transformations semblables de la forme F, l'une en/^(a, b, e), l'autre enf'^ ( — a, b, — c), inverse de la première.
» Sans poursuivre ces calculs plus loin (comme le faitGauss, dont le but final, dans l'art. 162, n'est pas exclusivement celui qui fait l'objet de sa première Partie), je me bornerai à dire que les formules (lî^), (19), (20), (21), qui servent à trouver plus commodément les valeurs de T et U, deviennent, dans les données de la présente Note :
(18) 2eT = (— kS'+7.'S — ^Y'4-^'Y)/7n
(19) aU = (y.'/ — oi'-f)m,
(20) 26U ^ (- aS' - a'S + 'i^Y + yy)m,
(21) cU = (- fl^'+ 3'S)ot;
les relations ma'^Ta, 2/wè'=2T^, me'=^Tc demeurent d'ailleurs les mêmes, et (28) devient eT + b\] = m( — 7.S'+ i'v).
» m. La vérification algébrique des formules précédentes n'étant qu'une affaire d'ordre et de patience ('), je me bornerai aux observations suivantes :
(') Cette vérification demaude pourtant une précaution : c'est de suivre dans les calculs Tordre qui a servi à établir les formules. Par exemple, la vérification de la for-
( 6oo )
» 1° On y doit toujours tenir compte, comme dans celles de Gauss, des sii^nes individuels -I- ou —, dont sont afTeclés les coefficients a, ^, . . . , •■', S', qui V entrent;
» 2" L'un des termes a', c' est positif, l'autre néfî^atif;
» 2&' est de même signe que cC , si l'on prend (a, h, c) pour la forme y à laquelle appartiennent les coefficients a, 3, y, «5, et, au contraire, de même signe que c', si ces coefficients ap|)artiennent à la forme ( — a, b, — c), prise pour /";
» 3° Les signes de T et U sont tous deux positifs, si a' et ih' sont positifs, et tous deux négatifs dans le cas inverse. Ces signes sont d'ailleurs indifférents pour l'usage qu'on en fait d;ins l'équation t- — D«^^ — r, puisqu'ils n'v entrent que par leurs carrés ;
» 4° Lorsque, D étant supposé positif (ce qui est le seul cas intéressant), on recourt, pour plus de commodité, à un Tableau composé comme celui qui termine le n° 188 des Disquisitiones, afin d'y chercher les transformations dont on a besoin pour obtenir des réduites proprement équivalentes, il est clair : que, si !a forme F, ou la réduite initiale F qui en tient lieu, contient dans la période de celle-ci la réduite inverse — F (ce qui dépend de la valeur du déterminant D), celle-ci occupe un rang pair dans la période qui débute par F (F y ayant le rang n° 1), puisque toutes les réduites de rang pair ont, pour leurs termes extrêmes, des signes contraires aux siens; que — F se trouve précisément au milieu de la période complète; enfin qu'à partir de celle-ci jusqu'à la fin de la période, toutes les réduites qui la suivent sont, respectivement, et dans le même ordre de succession, les inverses de celles qui vont de F à — F; en sorte que ce qui est vrai de l'une de ces réduites l'est aussi de l'autre, et qu'on peut prendre une quelconque d'entre elles comme forme initiale du Tableau des transformations;
)) 5° Au surplus, quelle que soit la réduite du Tableau qu'on choisisse poury, siy est son inverse la plus voisine, soit en dessous, soit en dessus d'elle, f et y"' se trouvant séparées l'une de l'autre par l'intervalle d'une demi-période, les valeurs qui, par les formules ci-dessus, en résulteront
mule (9) e?vige qu'on opère sur celle qui la précède immédiatemenl dans le lexle, et d'où elle provient a/)rès réductions des termes née' et nac. Ce dernier, notanimeiit, qui représente la somme des produits de (i) par (6) et de (2) par (5), est nécessaire pour que les données du problème interviennent <of/<es dans les calculs et les résultais. Sans lui, rien n'indiquerait suffisamment qu'il s'agit de deux formes y", y, inverses l'une de l'autre, plutôt que de deux formes identiques, et d'ailleurs le calcul n'aboutirait pas, comme on peut s'en assurer.
pour T et U seront, d'une façon absolue, leurs moindres valeurs t,, m,. En général, s'il y a entre y" et f un intervalle de 2« + i demi-périodes, les indices hiérarchiques des valeurs correspondantes de T etU seront 2« + i. Quant aux indices pairs, ils sont exclusivement réservés aux valeurs de T et U qui satisfont à l'équation i^ — Bu" = -h i , les impairs appartenant à
» IV. D'après tout ce qui précède, la méthode développée par Gauss, dans le n° 162 des, Disquisitiones, si on la modifie convenablement dans ses détails, conduit aussi aisément à la solution de l'équation i^ — D«- = — i (ou — in"^), lorsqu'elle est possible, qu'à celle de l'équation /- — Du" = + i . Dans ce cas, on peut donc regarder chaque moitié de la période coinplète de Gauss comme lormant deux périodes, identiques aux signes près des termes extrêmes des réduites occupant le même rang d^ins l'une de ces périodes et dans celle qui la suit.
» A cet égard, on se trouve dans le même cas que Lagrange, qui, lui, faisant usage de l'algorithme des fractions continues [où le quotient entier maxinsum (qu'il appelle 2a) fait sa réapparition régulièrement périodique], est naturellement conduit à ne voir partout que des périodes complètes, de même composition, au bout de chacune desquelles la fraction
convergente correspondante -jouit de la propriété, si l'on en met les deux
termes à la place de f et « dans la formule t' — Y)u-, de fournir alternativement le résultat — i (quand il est possible) à la fin des périodes de rang impair, et le résultat + i à la fin des périodes de rang pair.
» Au reste, l'analogie entre les deux méthodes, qui est ici mise en évidence sur un point ( ' ) en ce qui concerne la résolution des équations
/--Dir=±i.
peut être poussée plus loin, comme je le ferai voir dans une prochaine occasion. »
-M. Appell est adjoint à la Commission du prix Fournevron.
(') J'aurais désiré compléter celle exposition théorique, en l'appliquant à deux exemples numériques, choisis de façon à en bien éclaircir les détails; mais le manque de place m'a contraint d'y renoncer.
CORRESPONDAIVCE.
M. H. PoixcARÉ présente à l'Académie le Tome XII des « OEuvres complètes de La place : Mémoires extraits des Recueils de l'Académie des
Sciences ».
M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la Correspondance, une Thèse que M. Delépine vient de présenter à la Faculté des Sciences de Paris, sous le titre « Aminés et aniides dérivés des aldéhydes ».
M. Hatt, en présentant à l'Académie la feuille nouvellement gravée de la Carte hydrographique des côtes de Corse, comprenant les environs de Saint-Florent sur la côte ouest et ceux de Bastia sur la côte est, s'exprime comme il suit :
« J'ai l'honneur d'appeler l'attention de l'Académie sur l'exécution de la gravure du relief représenté en lumière oblique. M. Delaune, l'habile graveur de la topographie, a produit une véritable œuvre d'art. La nature accidentée du terrain rendait la représentation particulièrement difficile, et, d'autre part, le peu de largeur de la presqu'île du cap Corse obligeait à figurer la topographie au complet.
» La Carte est à l'échelle de j^^ environ ; la projection est celle de Mercator. On peut distinguer à côté du carroyage régulier, correspondant aux méridiens et parallèles, un autre carroyage exécuté en traits entièrement fins destinés à disparaître avec les tirages successifs. Ce carroyage n'est autre que celui des minutes de construction originales, exécutées à l'échelle de TT^r^; il correspond, dans ce voisinage de Baslia, à la méridienne et à la perpendiculaire du clocher de Sainte-Marie, axes auxquels sont rapportées les coordonnées rectangulaires des points du levé. Des formules spéciales servent à obtenir le transport direct de ce carroyage sur le cuivre au moyen du calcul des coordonnées géographiques (longitude et latitude) des intersections des parallèles aux axes. Ce transport une fois obtenu, le graveur n'a plus à opérer que la copie des carreaux successifs de la minute originale ramenée à l'échelle convenable au moyen de la photographie. »
ASTROXOMIE. — Obsen'ations de la nouvelle comète Brooks (iSgH, oct. 20), faites à l'Observatoire de Paris (équatorial de la lourde l'Ouest). Note de M. G. BiGouRDAX, présentée par M. Lœ«-y.
Dates.
1898. Étoile. AU.
Octobre 22 «ijgSBD + âô H-o. 8,02
22 rt 1798 BD 4-56 -4-0.16,74
22 «I798BD-L-56 -f-o.53,22
Position de l'étoile de comparaison.
Asc. droite Réduction Déclinaison Réduction
Date. moyenne au mojenne au
1898. Étoile. 1898,0. jour. 1898,0. jour,
Oct. 22 . . . 1798BD-1-56 15.19.28,74- — 0,29 -(-56. 3.i3,6 -i-i5,2
Nombre
de
compar.
Autorités.
A. G. Hels. Goil.
Dates.
Ocl.
Positions apparentes de la comète.
.\scension
Temps moyen
droite
Log. fact.
Déclinaison
Log. fact.
de Paris.
parallaxe.
apparente.
parallaxe.
fa m s 9.27.20,1
Remarques. — En présence de la Lune, la comète a l'éclat d'une nébuleuse de la classe I-II. Elle est arrondie, diffuse, sans «fueue et a 2' de diamètre total. Elle est plus brillante vers la région centrale où se trouve une condensation diffuse qui s'observe assez difficilement.
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales intermédiaires des équations du second ordre. Note de M. E. Gours.\t, présentée par M. Darboiix.
«. Etant donnée une équation de Monge-.\mpère
A(r/ — S-) -f-Br-i-C5-hT)/-j-E = o.
MM. Sophus Lie et Darboux ont démontré que. si elle admet deux; inte-
2' Semestre. (T. CX.XVII, N° 17.)
( ('o4 ) grales intermédiaires disliiictes V{u, r) = o, a el r étant des fonctions de ce, y, z, p, cj et F une fonction arbitraire, cette équation peut être ramenée par une transformation de contact à l'une des deux formes canoniques r^o, s = o, suivant que les deux systèmes de caractéristiques sont confondus ou distincts. Ce théorème ne semble pas avoir été étendu complè-. tement jusqu'ici aux équations du second ordre à un nombre quelconque de variables; c'est cette extension que je me propose d'indiquer dans cette Note.
» Soient x^, x.,, . . ., x,^ un système de n variables indépendantes, z une fonction de ces variables; nous poserons
dz d^z ,. j
» Les équations du second ordre, qui doivent être considérées comme analogues à l'équation de Monge-Ampère, sont les équations de la forme
Pli ■
Plu ■
/'«. + ='-„, p„3-hcL„„ ... /;„„
oïl les a,A sont des fonctions quelconques de x,, x^, . .., x„, z, p,, . . ., p^, ou du moins peuvent toujours se ramener à cette forme par une transformation de contact convenable.
» L'équation (i) admet deux familles de caractéristiques de premier ordre; les équations différentielles de l'un des systèmes sont
l dz — p, dx, — p., dx2 — . ■ . — pn dx„ =; o, / s 1 dp, -h r,,dx, -i- 7.,.,dx.,-\-.. .-+- o(.,„dx„^ o.
^^Pn + ''•ni ^'"'"i -•- '^■1,2 '^f'^^1 -H. . . + y.„„ dx„ = o ;
et les équations différentielles de l'autre système se déduisent de celles-là en permutant les indices i et k dans les coefficients a,v(.
» La recherchedes intégrales intermédiaires de l'équation (i) se ramène à la recherche des combinaisons intégrables des équations (2) ou des équations analogues de l'autre système. Si l'un de ces systèmes admet n combinaisons intégrables distinctes,
du.
du., = o,
du,, = o.
l'équation (i) admet l'intégrale intermédiaire F(//,, w, //„) = o, et ré-
ciproquement. Si du = o et dv = o sont deux combinaisons inlcgrables de chacun des deux systèmes, on a toujours [u, c] = o.
» Cela posé, si l'équation (i) admet deux intégrales intermédiaires distinctes, il peut se présenter deux cas :
» 1° L'un des systèmes de caractéristiques admet n + i intégrales distinctes. Les deux systèmes de caractéristiques sont alors confondus, et l'équation peut se ramener, par une transformation de contact, à la forme simple ^,, = o (').
M 2° Les deux systèmes de caractéristiques sont distincts et chacun d'eux admet n combinaisons intégrables distinctes. Le problème revient alors à trouver deux groupes de n ibnctions distinctes («,, u,, ..., m„) et (v,, c^, . . .. ('„) tels que l'on ait [m,, C/j] = o pour toutes les valeurs des indices i et k. Cette dernière question se résout facilement, grâce à la théorie des groupes homogènes de fonctions de M. Sophus Lie (^Mathematische Annalen, t. VIII et XI; Théorie dcr Transf or mations gruppen, t. II). En effectuant une transformation de contact convenable, et remplaçant 11^,11.., ..., M„ par des fonctions distinctes /, (u,, . . ., w„), . . ., /„('/,, . . ., «„) et opérant de même pour les c^, on démontre qu'il est possible de ramener les deux groupes de fonctions m et ^^ à l'une des formes canoniques suivantes :
oc.,, p,, p„
Pr
Pn.
Pn
Xq+ 1
•iV+,
Pr^i<
Pn,
Xqi-\:
» Pour le type (I), la somme q + r est égale an — i, et le nombre q
(') Les équations dont il s'agit ont été déterminées, sous leur forme la plus générale, pat- M. Darboux, dans son Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre {Mémoires présentés par divers Savants à '■'Académie des Sciences, t. XXVII, p. 212). Quelques cas particuliers ont fait l'objet de travaux récents : V'ivanti {Matlicmalische Annalen, t. XLVIII, p. 474-5i3), Fon- SYTii {Cambridge philosophical Transactions, vol. XVI, part. III, p. 191-218), Josef KiRSCHAK {Mathematischer und Naturwissenschaftliclter Anzeiger der Akademie, t. XIV; Budapest, 1898), etc.
peut varier depuis i jusqu'au plus grand enlier contenu dans ; pour
le type (II), la somme c/ -\- r^= n, et q peut varier depuis i jusqu'au plus
grand entier contenu dans -• Chacune des formes canoniques précédentes
est caractérisée par le nombre des fonctions distinctes qui appartiennent à la fois aux deux groupes des u et des i>; comme ce nombre peut varier de o il n — 2, il y a en tout n — i formes canoniques distinctes, à chacune desquelles correspond une forme canonique d'équation du second ordre, admettant deux intégrales intermédiaires distinctes. Toutes ces équations du second ordre admettent une intégrale générale explicite. » Ainsi, pour n = 3, on a les deux équations canoniques
/j,2 = o, p,iP3- P,3P2 = 0,
dont les intégrales générales sont respectivement
(p et A étant des fondions arbitraires.
» Pour n = 4. tin a les trois équations canoniques
JD,„ = 0, p,iP3—Pi3Pi=^0, p>,P2.;- P,uP-23^0.
» L'intégrale générale de la dernière est représentée par le système de deux équations
( z =: cp(a7,, .To, a) -+- 'i(j:;,, x,,, a),
( da Oa '
où a désigne un paramètre variable, ç et A étant des fonctions arbitraires. » En revenant à un système de variables quelconques, les résultats obtenus peuvent s'énoncer |comme il suit : Soient X,, Xj, . . . , X„ ; P,, .... P„, Z, (2« + i") fondions des variables ce,, . . . , x,/, p,, p^, ■ . . , p„, :-, satisfaisant, à l'identité
dZ - P, û?X, - . . . - P„ f/X„ = p(f/= -p, dx, - . . . -p^^ dx,,);
toute équation de la forme j- — — r = o, ou u,, Un, . . , //„ sont n
quelconques des fonctions Z, X,, l'/t, admet deux intégrales intermédiaires distinctes. Réciproquement, toute équation du second ordre, qui jouit de cette propriété, peut être obtenue de cette façon.
» Il est à remarquer que tous les types ainsi obtenus ne sont pas essentiellement distincts. »
( fio7 )
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les points singuliers situés sur le cercle de convergence et sur la sommation des séries divergentes. Note de M. Leau, présentée par M. Appell.
« Soit la série /{:■) = ^cipZ^" dont le cercle de convergence a un rayon égal à l'unité. Supposons qu'on veuille s'assurer s'il va ou non, sur un certain arc de cercle, des points singuliers. On pourra prendre sur le rayon bissecteur un point b et, en l'imaginant assez voisin de l'origine, on sera
conduit, d'après le critérium de M. Hadamard, à étudier la limite supét
rieure de \- — — pour n infini. Or on ne change pas cette limite si l'on se
borne à faire varier, dans la formation de la dérivée, p de n à n' , — restant
' Il
supérieur à un nombre fixe plus grand que i. Ainsi, il existe des suites
de nombres dépendant de a et d'un entier n
telles que, dans les conditions énoncées, la solution du problème dépend
de la limite supérieure de [ x„ „a„+ a,i^.,^„fl„+| +. . .+ ''-„',« ^«' !"•
» Des représentations conformes, autres que le prolongement analytique, donnent des résultats tout à fait analogues.
» Ce fait est important. M. Fabry a basé sur lui ses recherches dans le cas où l'arc considéré se réduit à un point. Mais, même si l'on choisit une représentation conforme fournissant pour les x des valeurs très simples, l'expression ainsi introduite, et qui joue dans l'extension des séries un rôle analogue à celui du terme général pour la convergence, est, en elle-même, difficile à étudier. Or on peut, sans se préoccuper de la nature des coefficients et., tirer du résultat précédent diverses conséquences. En voici quelques-unes que, pour plus de brièveté, j'énonce avec beaucoup trop de restrictions :
M Soit une suite de nombres positifs è„, è,, ..., è„ i„ tendant vers i
pour n infiui, et appelons n"^™* ensemble les coefficients 6,,, i„-n, • • •« ^,;'- Si a est positif et inférieur à ^, u compris entre o et i, et si ^- passe par toutes les valeurs entières, supprimons dans une infinité d'ensembles les bp
( Go8 ) pour lesquels on a
le point g-'"'" sera singulier pour la série IibpZ''. De là un moyen de construire une infinité de séries admettant le cercle de convergence pour coupure.
» Inversement, on pourra former des séries n'ayant qu'un point singulier. Imaginons des séries y,(=), /-.{z), ... , f,X^), •■■, satisfaisant aux conditions suivantes : i° le point + i est singulier; 2° pour un nombre b négatif, les expressions correspondantes relatives à chacune des séries
tendent simullanémenl vers j-, 3" dans les différences /],+, (:■) — /,X^)
les termes dont le degré varie de n à 2 a; ont leurs coefficients a^ inférieurs en module à h^, h étant une constante inférieure à l'unité. Entre autres, la série dont le terme général est le n"""" terme de f^^i^z) n a que le point + 1 pour point singulier sur le cercle de convergence. On peut dire, par une comparaison naturelle, qu'on a en quelque sorte des séries tangentes le long de polynômes plus ou moins éloignés et qu'oti prend leur enveloppe (qui n'est d'ailleurs pas unique). Voici un exemple simple : c'est la série dont le terme vénérai est
les c étant des constantes dont le module est limité.
» C'est par l'emploi des représentations conformes qu'a été obtenu le résultat énoncé au début de cette Note. Elles permettent également, comme l'a montré M. LindeliJf, de calculer la valeur numérique de la fonction représentée par une série en dehors du cercle de convergence de cette dernière. Si l'on cherche, par un pareil procédé, des valeurs de plus en plus approchées de la valeur exacte, on est conduit, si la série proposée esty^(s) =: lUpZ'', à en former d'autres dépendant d'un entier m
(0 ^apbp„rJ\
et qui, pour la valeur considérée de z, fournissent précisément les valeurs approchées en cpiestion. Mais, en général, ces coefficients 6" dépendent de z. Proposons-nous donc de déterminer des nombres b constants, au moins lorsque z reste dans certaines légions, et tels que les séries (i) soient convergentes, leurs sommes ayant pour limite ./(s) en supposant
( 6o9 ) que :; reste dans une région où f(z) est holomorphe. En utilisant une démonstration de ]\I. Borel ('). on arrive à ce résultat fort simple : si le
procédé de sommation s'applique à et se fait uniformément dans une
région A contenant l'origine, il s'applique dans une autre région B pour toute fonction qui y est holomorphe. Il suffit donc de former les séries (f) quand tous les a sont égaux à l'unité. Yoici des exemples :
» 1° On part de la fonction ' ~ ^ , — que l'on développe suivant les
puissances croissantes de z. Il est aisé de voir qu'on retrouve ainsi, par une voie différente, le mode de calcul principalement employé par M. Borel dans sa théorie si intéressante des séries divergentes sommables. » 2" a étant une constante, on forme les polynômes en :;,
» Ce procédé peut être considéré comme une généralisation d'une transformation due à Euler. ÎM. Lindelof en a donné une autre dépendant
d'une arbitraire y.. On peut faire varier y. avec :: et, en posant x = — Tj' ^^
passe d'une généralisation à l'autre.
» Ces différents résultats seront développés dans un prochain Mémoire. »
ACOUSTIQUE. — Mesure de la vitesse du son. Note de M. Frot, présentée par M. Lippmann.
« Cette Note a pour but de faire connaître deux valeurs que nous avons obtenues pour la vitesse du son dans l'air à o°, en opérant soit directement à l'aide de chronomètres à pointage, soit automatiquement à l'aide de vibrateurs électriques et de cbronographes de chute.
» Mesure directe. — Cette mesure a été faite le i5 féwier 1896 sur le polvgone de Bourges, en utilisant un tir du canon de 120 long, et en profitant de ce que la température, indiquée par un thermomètre placé près de la pièce, était de 0°. De plus l'air était presque calme, l'anémomètre
(') Sur les séries de Taylor admettant leur cercle de coniergence comme coupure CSÏémoive paru daos le Journal de Mathématiques).
( 6io) enregistrant un A'ent de i'", 70 à la seconde, dont la direction faisait avec celle du tir un angle de i ro°. Enfin la pression barométrique était de ySô"™.
» Le procédé employé a consisté simplement à noter |)oiir chaque coup de canon, avec deux chronomètres à pointage comparables, les temps qui s'écoulaient entre le moment où le coup partait et celui où l'obus, arrivé au but, éclatait, d'une part, et le moment où le coup partait et celui où le bruit de la détonation du projectile revenait à la pièce, d'autre part.
» On a observé de la pièce, à l'aide d'une lunette, les points d'éclatement dont les emplacements ont été ensuite déterminés à l'aide d'une triangulation rapportée à la ligne de tir jalonnée de 5o" en 5o™.
» Le Tableau suivant donne les résultats moyens obtenus à l'aide des quinze expériences faites.
! entre le départ du coup et l'arrivée à" la pièce ,
de Tonde de l'explosion de l'obus 35', 00
entre le départ du coup et l'explosion de l'obus. i8=, 20
Temps mis par l'onde de l'explosion pour arriver à la pièce 16*, 80
Distance séparant le point d'éclatement de la pièce 5565™, 00
Vitesse du son à 0° en air agité 33i"',2
Composante du vent suivant la direction du tir — 0,6
Vitesse du son à 0°, en air calme 33o",6
Nombre de coups utilisés 1 5
» Mesure automatique. — Dans cette série d'expériences, on a enregistré électriquement, à l'aide d'un chronographe de Boulangé-Bréger, le temps mis par l'onde de la détonation d'un coup de canon pour parcourir un espace de 4o™.
» Dans ce but, deux écrans, placés sur la ligne de tir, l'un à 3o™ et l'autre à 70™ de la pièce, portant des vibrateurs à ressort identiques, ont été intercalés dans les deux circuits d'un chronographe. L'onde de la détonation, frappant successivement chaque écran, mettait en mouvement le vibrateur, coupait le courant correspondant et faisait tomber un des pendules du chronographe.
» On a obtenu ainsi le temps mis par cette onde pour parcourir la distance séparant les deux écrans et, par suite, la vitesse du son.
» La température et le vent ayant été également enregistrés, on a pu ramener cette vitesse à ce qu'elle aurait été en air calme et à 0°, en admettant une correction de o™, GaS pour chaque degré.
» 1 4 observations ont pu être faites en cinq séances et sont consignées dans le Tableau suivant :
Jour du tir. Température.
1896 26 juin . .
» 6 juin. .
» 7 juin. .
» 26 oct. . .
» 28 oct. . .
Vitesse moyenne
du son à
en air calme.
Vitesse du
1 son
ramenée à 0°
mesurée.
et en air calme.
Conditions atmosphériques.
Composante du vent
suivant Nombre
la direction Hauteur d& coups
du tir. baiométrique. tirés.
o" et i4
expériences. 33o,9
» Résumé. — En résumé, nous avon.s obtenu, pour la vitesse du son à o" et en air calme, 33o™,6 parla première méthode et 330", 9 par la seconde, ce qui, étant donné que nous pouvons, sans erreur appréciable, attribuer à ces deux résultats un poids semblable, nous donne, comme valeur movenne de la vitesse du son résultant des expériences, 330", 7. »
.\COUSTIQUE. — Sur les sons des cordes. \ote de M. A. Gcille.mi.v, présentée par M. J. Yiolle.
« En cherchant à répéter les expériences classiques surTefTet d'un contact léger en un point d'une corde vibrante, je suis arrivé au résultat suivant, qui est d'ailleurs une conséquence immédiate de la théorie établie dans mon livre La Voix et le Timbre :
» Étant donnée une courbe de longueur i rendant le son ut,^^ i, quelle que soit la façon dont elle a été ébranlée, si, immédiatement après l'avoir mise en mouvement, on la touche légèrement en un point quelconque avec le doigt ou un pinceau de crin, ou si on la fixe brutalement avec un chevalet de façon à partager ladite corde en deux segments a et i — a,
toujours on entend les deux sons - et atie donnerait chacun des ses-
ments vibrant seul.
>> Ces deux sons partiels ont en général une durée très courte, quelle que soit l'énergie de l'ébranlement initial.
» ^la théorie fournit une explication très simple de ce fait. En effet, le son engendré par la vibration d'une corde n'est point le son de la corde,
( Gl2 )
qui est insensible, mais le son produit par les chocs rythmés que, par l'entremise des pieds des chevalets, la corde assène en vibrant sur la table d'harmonie. Or, quand on pose un chevalet intermédiaire de façon à couper la corde vibrante en deux segments a et i — a, on ne fixe qu'un point unique de la corde, tandis que les autres points continuent à se mouvoir en vertu du mouvement de translation qu'ils possèdent. Il s'ensuit que chaque segment acquiert la période de vibration qui correspond à sa longueur et imj)rime au chevalet commun les petits déplacements dont le rythme est réglé par son mouvement vibratoire propre. Or, ces déplacements sont en général discordants; ils se contrarient et amènent vite l'immobilité des segments excitateurs.
M C'est seulement dans certains cas, faciles à prévoir, que les petits déplacements du chevalet seront concordants : les sons partiels se prolongeront alors quelque temps.
» Prenons, par exemple, le cas d'une corde pincée en son milieu.
» 1° Le chevalet fixe le milieu de la corde. Traçons les lignes brisées qui représentent les petits déplacements du chevalet (') dus à l'action de chacun des segments et nous verrons tout de suite que les vibrations de chaque moitié sont absolument concordantes; aussi les deux sons ut.,^= i s'entendent-ils parfaitement.
» 2° Le chevalet est placé au quart. Les deux sons partiels sont alors \ ^ja<, et| ^= ut^. Si nous traçons encore les lignes brisées représentatives des petits déplacements que subirait le chevalet s'il n'était ébranlé, premièrement que par le segment \ de la corde, deuxièmement que par le segment |, nous verrons que les abaissements et les relèvements de la deuxième bgne coïncident tous avec des abaissements et des relèvements de la première, de façon à s'ajouter arithmétiquement. Aussi les sonsya, et m/, s'entendent-ils très nettement.
» 3° Il y aurait de même concordance si le chevalet immobilisait les points situés exactement au sixième, au huitième, etc., c'est-à-dire dans des cas plutôt théoriques que pratiques.
» Nous devons ajouter que, même dans ces cas, s'il est toujours vrai que les abaissements coïncident, il est extrêmement rare que les relèvements se fassent aux temps indiqués; par suite, leurs coïncidences n'existent presque jamais et les sous partiels s'éteignent presque toujours vite.
(') ^'oi^ HELMHOLfz, T'iu'orie physiologique de la Musi'jue, IraJuclion Guéroult, //-. 19, p. 75.
» Lorsque la corde est pincée au tiers, la discussion des cas particuliers est un peu plus compliquée, mais elle conduit toujours à des résultats d'accord avec l'expérience. En particulier, lorsqu'on fixe le point pincé, qui est situé au i, les deux segments, loin de se taire, comme l'affirme Helmholtz, disent nettement sol^ et soi, .
» Ainsi, par la 'fixation d'un point convenable d'une corde vibrante, on obtient tel son partiel que l'on veut; on ne saurait évidemment en conclure l'existence préalable de ce son partiel dans le son primitif de la corde. »
CHIMIE. — Sur le poids atomique du tellure, en relation a^'cc les proportions multiples des poids atoT)2irjue<t des autres eorps simples. Note de M. H. Wilde.
« La détermination récente du poids atomique du tellure, par M. R. Melzner (Comptes rendus, i3 juin 1898), me fournit l'occasion d'attirer encore une fois l'attention des savants sur la condition anomale actuelle de la Chimie théorique et sur les obstacles qu'elle rencontre dans la voie de son progrès futur.
» Les expériences faites par M. Metzner donnent pour le tellure un poids atomique égal à 127,9 comme la moyenne de la première série et 128,01 pour la seconde série. Ces résultats indiquent une plus grande approximation au nombre théorique 128 adopté par Dumas et autres chimistes, qu'aucun de ceux précédemment mentionnés.
» Le Mémoire classique de Dumas (') sur les équivalents des corps simples contenait toute notre connaissance réelle des relations numériques parmi les poids atomiques jusqu'à la publication de mon propre Mémoire sur l'origine des substances élémentaires (■), dans lequel les triades et autres multiples relations des poids atomiques révélées par l'illustre Dumas ont été grandement étendues. J'ai aussi trouvé que la différence numérique commune, entre les poids atomiques de la série oxygénée et les métaux des terres alcalines, observée par Dumas est exactement parallèle avec une différence commune dans les poids atomiques des halogènes et métaux alcalins, différence de la moitié de la quantité indiquée dans la série de l'oxygène et des métaux de terres alcalines. (>ette nouvelle relation n'est devenue manifeste qu'après l'Ouvrage de Dumas, je veux dire par la dé-
(') Comptes rendus, t. XLV, p. 709; t. XLVI, p. 96 1; t. XLVIl, p. 1026. (-) Mancliesler Memoirx : 1878, 1886 et 1894.
couverte du rubidium et du cœsium, et par l'adoption des poids atomiques de Cannizzaro.
» Le parallélisme absolu des séries positives et négatives des éléments Hn et H2«, tel qu'on peut le voir par ma Table {^Comptes rendus, 8 novembre 1897), dans leurs relations numériques, chimiques et physiques, ne laisse pas de doute, que, pour ces quatre séries naturelles et les mieux connues, les proportions multiples de leurs poids atomiques ne représentent la vérité de la nature. Les petites différences que l'on peut observer entre les poids expérimentaux et quelques-uns des poids atomiques théoriques, si on les répartit entre les vingt-quatre nombres composant les quatre séries, ne s'élèvent qu'à 0,0046 des déterminations réelles.
M Les poids atomiques concordent, par conséquent, d'une façon beaucoup plus étroite avec les résultats expérimentaux que la loi fondamentale des chaleurs atomiques, formulée par Dulong et Petit pour ces mêmes séries. Personne ne révoque en doute l'exactitude générale de cette loi, parce qu'elle ne trouve pas son application pour le charbon, Je bore et le silicium, ou pour les quantités fractionnaires, dans le nombre total deséléments. La loi de Dalton sur la combinaison chimique dans des proportions définies et multiples a été basée sur des approximations différant pour les principaux éléments de plus de 3o pour 100, d'après les dernières déterminations ('), et, par suite de l'adoption des poids atomiques de Canizzaro, ces différences se sont grandement accrues.
» J'appuierai également fortement sur ce fait, jusqu'à présent ignoré par les chimistes : comme les poids atomiques des deux séries positives d'éléments, Hn et H2/Z sont les produits des grands nombres multiples 16, 23 et 2!\ respectivement, et comme ces poids atomiques sont en relation réciproque, parles différences communes 4 et 8, avec les grands nombres multiples 46 et 48 des deux séries négatives d'éléments, il résulte de ces rapprochements que les proportions multiples exactes subsistant parmi ces poids atomiques plus élevés ont une valeur beaucoup plus grande pour déterminer s'ils sont des nombres entiers d'hydrogène, que lorsque tous les équivalents étaient comparés directement avec l'unité ou la demi-unité d'hydrogène, par Stas et les chimistes plus anciens.
» J'ai maintenant l'honneur d'apporter devant l'Académie un nouvel argument en faveur des proportions multiples exactes des poids atomiques, lequel, en même temps qn'il sera utile aux étudiants passionnés pour les Sciences naturelles, sera un obstacle permanent aux prétentions de ces
(') Dalton' s new System of chcniical Philosopliy. vol. Il, p. 352; 1827.
chimistes qui exposent leurs approximations dressées péniblement, entre les poids atomiques, comme étant la vérité absolue de la nature et la limite du pouvoir des futurs investigateurs.
» Dans le ]\Iémoire auquel je me réfère, Dumas formulait la proposition que, « dans trois corps simples de la même famille naturelle, l'équivalent » du corps intermédiaire est toujours la moitié de la somme des cquiva- » lents des deux corps extrêmes ». Celte proposition, ainsi qu'on s'en convaincra, est l'expression rigoureuse des proportions multiples exactes et définies des poids atomiques.
» Le premier exemple de cette loi, donné par Dumas, est la triade du soufre, du sélénium et du tellure, avec les anciens équivalents 16. 4o, 64, égaux à 32, 80, 128 des poids atomiques de Cannizzaro. Maintenant, dans la Géométrie de l'espace, nous avons une triade de proportions numériques semblables à celles qui ont été trouvées entre les poids atomiques, puisque un cône, une sphère et un cylindre d'égal diamètre et d'égale hauteur ont les rapports i, 2, 3, respectivement, le corps intermédiaire étant la moitié de la somme des deux corps extrêmes, comme dans la triade du soufre, du sélénium et du tellure. L'attitude mentale de ces chimistes qui font de leurs déterminations des poids atomiques la vérité absolue de la nature, pourrait être exactement comparée à celle d'un artiste ingénieux qui essayerait de démontrer par des moyens mécaniques les rapports du cône, de la sphère et du cylindre, mais qui, s'étant aperçu, après un long espace de temps et beaucoup de travail, que les rapports exacts de poids et de mesure ne pouvaient pas être obtenus, à cause de l'inégale densité des matériaux sur lesquels il aurait opéré, ou pour d'autres motifs, mettrait le résultat de ses travaux au-dessus des démonstrations du géomètre et déclarerait, dans le langage hyperbolique employé par Stas au sujet des proportions multiples des poids atomiques, tels qu'ils ont été modifiés par Dumas, que les rapports exacts du cône, de la sphère et du cylindre sont « une simple illusion, et ime hypothèse pure, en coutratliction absolue » avec l'expérience » ( ' ).
M Si l'on applique les raisonnements qui précèdent aux déterminations du poids atomique du tellure par M. Metzner, et si l'on admet l'exactitude de la valeur théorique de 128, on verra que M. Metzner, en prenant la moyenne des résultats de sa première série d'expériences sur le sulfate, et en adoptant le poids atomique final de 127,9, s'est à peine rendu jus-
(') Bull. Acad. Se. Belgique, t. X, p. 212; 1860.
tice, car la seconde série a^ec l'acide telluriqne donne un poids atomique moyen de 128,01. De plus, sur les sept déterminations faites par M. Melzner, trois donnent le poids atomique théorique réel de 128, ce qui est le critérium des résultats expérimentaux. »
CHIMIE. — Sur les positions du tellure et de l'iode, dans les systèmes périodiques des éléments. Note de M. H. Wilde.
« Les expériences de M. Metzner sur le poids atomique du tellure (^Comptes rendus, i3 juin 1898), montrent une valeur égale à 128 en confirmation de celle adoptée par Dumas et d'autres chimistes; par là même, ils viennent à propos en ce moment, comme apportant une preuve décisive de la validité ou de la non-validité des systèmes périodiques des poids atomiques, dont la prétention est encore maintenue par quelques chimistes éminents.
» Les lois générales des chaleurs atomiques et les proportions multiples des poids atomiques, fondées comme elles le sont, d'après la méthode induclive d'observation, un certain nombre de cas séparés, ne sont pas affectées par im petit nombre d'apparentes exceptions; mais des systèmes périodiques, avant leur origine dans la notion arbitraire d'une chaîne continue des éléments dans l'ordre de leurs poids atomiques, le manque d'un seul anneau est fatal à la validité de ces classifications.
» Dans la Table des éléments de Mendéléeff (Co/njo/e^ rendus, t. LXXXL p. 969), les exigences du système périodique exigent que le tellure ait un poids atomique inférieur à celui de l'iode, 127 ; l'éminent chimiste russe a, par conséquent, assigné au tellure une valeur égale à 123, bien que le poids atomique de cet élément ait été démontré, à plusieurs reprises différentes, être 128. Cette valeur exige la transposition de l'iode et du tellure dans sa Table, ce qui rangerait l'iode dans la famille du soufre et du tellure, et ce dernier élément dans la famille du chlore et du brome, ce qui est absurde. Il n'y a par conséquent aucune position dans le système périodique, pour le tellure et l'iode, qui soit conforme à une classification naturelle des corps simples.
» Plusieurs chimistes, désireux de partager la popularité des auteurs des systèmes périodiques, ont modifié ces systèmes conformément à leur idiosyncrasie particulière et dans le but de vaincre les difficultés qu'il y avait à trouver des places pour l'argon, l'hélium et autres éléments récemment découverts. Le dernier de ces essais a été fait par sir W. Crookes
(Procès- verbaux de la Société royale, 9 juin i8g8), qui revendique pour sa modification en double spirale une plus grande symétrie que celle obtenue par ÎMendéléeffet dirige une attention particulière sur les triades Cl, Br, I, et S, Se, Te, comme preuve de ce qu'il avance. On remarquera cependant que, tandis que sir W. Crookes a généralement suivi l'arrangement de Mendéléeff, et particulièrement en plaçant le tellure avant l'iode, il a rendu le système périodique plus absurde en séparant le fluor du clilore et en plaçant cet élément éminemment actif à la tête de la famille des métaux du platine. La même anomalie se montre encore dans la séparation de l'oxvgène du soufre et dans la substitution de l'hvdrogène au fluor, dans la famille du chlore et du brome.
» Enfin, les auteurs des systèmes périodiques sont convaincus d'avoir interpolé dans leurs Tableaux respectifs, sciemment ou inconsciemment, l'arrangement naturel de Dumas des corps simples en familles et d'avoir présenté ces interpolations pour prouver la vérité de leurs prétendus systèmes périodiques.
» Des chimistes, dans l'enthousiasme de leur juste appréciation pour le travail de Mendéléeff lors de sa prédiction de l'existence du gallium, du scandium et du germanium, ont négligé de s'enquérir des méthodes à l'aide desquelles les Tables de systèmes périodiques ont été dressées par leurs auteurs respectifs. Un examen de ces Tables montrera : 1" que les prédictions de Mendéléeff ne sont pas basées sur le prétendu système périodique, mais bien sur les classifications et le travail de Dumas ; ainsi qu'on peut le voir par ma Table d'éléments disposée avec leur poids atomique dans des proportions multiples, laquelle indique également les places et les propriétés des mêmes éléments prédits par MendéléefT; 2° que lorsque l'ordre par série des poids atomiques est exactement suivi, l'idée d'avoir recours aux propriétés des fonctions périodiques n'a absolument aucun fondement naturel (').
» J'ai indiqué ailleurs d'autres contradictions qu'entraîne l'idée illusoire de périodicité des propriétés chimiques des éléments (-). Dans la Table de Mendéléeff, le bore est placé à la tête des séries de l'aluminium et
(') M. Berthelot a également montré que les prédictions de Mendéléeff ne sont pas une conséquence des séries périodiques, mais bien de l'arrangement des éléments en familles, dans lesquelles, par comparaison, certains termes manquent {Les Origines de l' Alchimie, p. 3o2-3i5; i885).
(-) Manchester Menioirs, vol. 9; 1894. — Phil. Mag., vol. 4-0; i885.
du gallium, tandis que M. Étard (') et d'autres ont montré que cet élément appartient, en réalité, au groupe du phosphore et du vanadium. La position du bore à la tête de ce groupe déplace l'azote qui, comme le tellure et l'iode, ne trouve pas de place dans le système périodique. Les places qu'occupent l'or, le mercure, le plomb et d'autres éléments dans la Table périodique sont également anormales; même dans le troisième groupe historique de la Table de Mendéléeff, la place et les poids atomiques du scandium, du gallium, de l'indium et d'autres membres de ce groupe sont encore susceptibles de revision. J'ai montré que les proportions multiples des poids atomiques de ce groupe (H 2n) sont semblables à celles des séries Hnet Han et concordent avec les valeurs généralement acceptées ou bien avec un multiple ou un sous-multiple des mêmes. Il s'ensuit cju'il est beaucoup plus probable que les poids atomiques du scandium, 42, et du gallium, 9G, dans ma Table soient exacts, que les valeurs évaluées 44 ^t 68 respectivement, adoptées par Mejndéléeff.
)) La simplicité des réactions spectrales du scandium, du gallium, de l'indium et du ihallium, à des températures inférieures à celles de l'étincelle électrique condensée, montre que ces éléments ont des positions homologues avec les métaux alcalins et les métaux de terre alcaline dans les séries En et H 2/2, tandis que Mendéléeff a placé le gallium et ses congénères dans des positions homologues avec le cuivre, l'argent et l'or; le zinc, le cadmium et le mercure. Il a également fait du scandium l'analogue de l'yttrium, du didyme et de l'erbium, tandis que les propriétés spectrales et autres de cet élément montrent qu'il appartient à la famille alterne du gallium, de l'indium et du thallium.
» La quantivalence et les poids atomiques de cette série d'éléments sont d'intéressants sujets d'investigation et méritent la plus grande attention de la part des chimistes, m
CHIMIE MINÉRALE. — Sur l'amalgame de calcium (-). Note de M. J. Ferée.
« Dans son Mémoire sur les amalgames des métaux alcalino-terreux, M. Maquenne (') a montré que l'amalgame de calcium est très difficile à
(') Comptes rendus, t. XLI, p. 981 ; 1880.
(-) Travail fait à l'Institut chimique de Nancy, laboratoire de iM. Giuilz.
(') Bull, de la Soc. cliini. de Paris, p. 366; 1892.
( <^'9 ) obtenir par électrolyse aqueuse de son chlorure et. qu'il est presque impossible de le conserver à cause de sa grande oxydabilité. Par disliliation dans le vide et en partant de près d'un kilogramme d'un pareil produit, M. Maquenne n'a pu isoler que quelques centigrammes d'amalgame riche. Sur les conseils de JM. Giintz, j'ai repris depuis longtemps l'étude de cet amalgame (')•
M L'électrolyse a été faite en se servant, pour préserver autant que possible l'amalgame formé de l'action du chlore, d'un vase poreux de pile comme diaphragme; on évite l'élévation de température en refroidissant les liquides par un courant d'eau froide circulant dans deux serpentins en verre.
» La solution éleclrolysée renfermait des poids égaux d'eau et de cldorure de calcium cristallisé.
» Pour obtenir le meilleur rendement, il est bon de remplacer toutes les heures la solution calcique et l'amalgame formé.
» Dans ces conditions, avec un courant d'une densité de 2""?, 5 par centimètre carré d'électrode mercurielle, on obtient facilement une grande quantité d'amalgame liquide plus riche que celui qui a été préparé par M. Maquenne.
» Cet amalgame liquide se recouvre à l'air d'une couche noirâtre; il est tellement altérable que, si l'on essaie de le filtrer dans une peau de chamois, il ne reste qu'un produit complètement oxydé et l'on sent à la main un dégagement de chaleur considérable.
» Pour concentrer l'amalgame liquide, on l'introduit dans une cornue de verre à laquelle est soudé un ballon rectificateur et l'on fait le vide par le tube latéral, qui est ensuite fermé à la lampe. En chauffant la cornue sur un bain de sable, le mercure distille ainsi à l'abri de l'air et sous une pression de 12"°" environ.
» I0005"' d'amalgame liquide donnent laS"' d'amalgame solide, répondant à la formule Ca'Hg*, comme le montrent les analyses.
» Le calcium a été dosé en faisant bouillir, au réfrigérant ascendant, un poids déterminé d'amalgame avec un volume connu d'acide sulfurique titré, dont la perte de titre permet de calculer la quantité de métal alcalino-terreux.
M L'amalgame de calcium solide est poreux et d'un gris blanchâtre; il s'oxyde très vite à l'air et décompose l'eau rapidement. Pour le conserver, il suffit d'étirer à la lampe le col de la cornue dans laquelle la distillation a été faite.
» Porté à une température plus élevée, dans un courant d'hydrogène, l'amalgame perd de nouveau du mercure; mais il en retient encore au
(') Bull, de la Soc. chim. de Paris, p. 583; 1897.
