sinO— -r-rCosO — -T^smO — -■ o
ou, vu la différentiation immédiate de ^ = AcosO,
(3) £-sin9 — j^cosf) — h-j-^ sin-0 — A-r^cosOsinO — o.
^ ^ al- fil- dt-
» Reste à dilTérentier deux fois en t, grâce à la formule symbolique. ( i), la valeur ( a ) der. Il vient d'abord, comme dérivée première,
Yv'-h bYv'-h AVar'sinO -*- hx' ~j- cosO,
dl
et, comme dérivée seconde.
de
'h[--r-x -r V-j; jsmO-f-2AVj7 -ttCOsO -r Ax ( -7-7 cos6 — -j^smO)-
» Celle-ci se simplifie beaucoup, à raison des formules données par deux différentiations en ^ de l'identité x'- -^y'' = i , qui définit la variable s,
et par une différentiation en / de l'expression x'"^ -{- y"- du carré jr-, de la courbure. Ces formules
Yixx ^yy)=^-^, se réduisent, attendu que r' - i et y' ; o en R, à
x" = o, xl"^-~y'\ vyy = i^;
d'où il résulte, ainsi que de l'expression ci-dessus du cafré delà courbure, et vu le signe évidemment positif de y" f d'après le choix fait de l'axe
des /),
v^i^etVr =-^.
Donc il valeur, changée de signe, de la dérivée seconde de r,, à substituer
dans (3), est
( 'i) TV ~ rr M - D sinO ■ b—- — h -j^cosO-f- «-j-^smO.
■ *'' dl- K \ R 7 dl dl- df-
» Portons enfin cette valeur chins (3) et observons que, l'angle 0 devant rester très petit, on peut le substituer à son sinus, réduire son cosinus à l'unité, et réduire aussi à l'unité, dans le second terme de (4), le facteur binôme entre parenthèses, à raison de la petitesse tant de 0 que du rapport de h à R. I/équation (3), divisée par A, devient alors
^ ' dl' h dt h AR
» III. Telle est la relation annoncée entre le mouvement progressif de la bicyclette, défini dans son état actuel par \ quant à la vitesse, par R quant à la trajectoire, et son mouvement d'inclinaison, défini par l'angle ô du plan de la roue motrice avec la verticale. La mise en compte de la nonconcentration effective de la masse ?n en G a pour seuls effets d'y faire substituer : i°à la constante h, la longueur effective, que nous appellerons A', du pendule composé constitué par tout le système, dans sa rotation autour de la base RA, et, 2" à la petite distance b, la somme
où /,y sont, dans le plan médian KGA, les deux: coordonnées horizontale et perpendiculaire qui définissent, en projection sur ce plan médian, la situation de chaque élément dm de la masse m, ces coordonnées étant comptées à partir du centre de gravité G. On reconnaît aisément que cette somme b' croît, dans chacune de ses deux parties, quand le cavalier se penche en avant.
» IV^. Les dérivées premières, en /, des deu^c variables V, R caractéri-
tiques du mouvement progressif, dépendent immédiatement de la volonté du cavalier et constituent, entre certaines limites, deux fonctions arbitraires du temps, laissées à sa disposition non seulement pour se diriger et avancer, mais aussi pour éviter toute exagération dangereuse de 0. En effet, l'accélération. -T-> du mouvement de rotation de la roue motrice à sa circonfédt
rence est en rapport direct avec l'action des pieds du cavalier sur les pédales; et, d'autre part, le changement survenu, d'un instant à l'autre, dans le rayon R tle courbure, traduit d'une manière tout aussi directe l'action de ses mains, qui règlent, grâce au guidon, le petit angle a fait, sur le sol, par le plan de la roue directrice avec la trace RA du plan de la roue motrice. Car il faut remarquer que. l'extrémité A de la tangente KA à l'arc s se mouvant tangentieilement à la trace du premier de ces plans. la normale AC à cette trajectoire va couper, sous le même angle a, la normale KG à la trajectoire de l'extrémité Iv. Or l'on reconnaît aisément que l'intersection C de ces deux normales, centre instantané de rotation de K.A, se confond avec le centre de la courbure, en R, de l'arc s.
>> Effectivement, les coordonnées variables de A sont.r -(- ax , y -i- ay\ et leurs dérivées en s, entre elles comme les cosinus directeurs de la trajectoire du point A, sont x' -+- ax", y' h ay". Les deux normales RC, AC aux trajectoires ont, dès lors, comme équations respectives (X, Y désignant les coordonnées courantes),
( (X — X ~ ax' )(.r' -^ ax" ) -+- (Y —y — ay'){y' -\- ay" ) = o;
et l'on reconnaît aisément que leur point (X. Y ) commun est indépendant de a, ou le même que celui des deux normales
( (X — X ~ x' ds)(x' -hx" ds) -h (Y —y -'~y'ds)(Y' -{- y" ds) = o,
menées aux deux points voisins (x,y), (a? + x' ds.y - y' ds) de l'arc n, et qui est le centre C de courbure.
» Le triangle rectangle CRA donne, dès lors, RA - a =: R tanga, ou. à raison de la petitesse de x, a — R x. Alors l'équation , >), où il est préférable de faire figurer, au lieu de R, l'angle o. qui exprime d'une manière presque immédiate l'action des mains du cavalier, devient
^' ' fir- ^ ah' clF ~ P ah' '
» J'y ai substitué, d'ailleurs, à h et à h, les longueurs h' et h' , corrigées à raison de la dissémination de la masse m du système autour du centre de gravité G. «
M. Ad. Carnot fait hommage à l'Académie d'une Brochure intitulée : « Sur de nouvelles méthodes d'analyse minérale ». (Extrait du huitième fascicule de 1898 des Annales des Mines.)
Cette Brochure contient l'exposé d'un grand nombre de méthodes analytiques données par l'auteur, en dehors de celles qui ont été publiées précédemment dans le même Recueil.
RIEMOIRES PRESENTES.
M. Th. Timbaud adresse un Mémoire relatif à un « projet d'enlèvement et de destruction des ordures ménaerères ».
CORRESPONDANCE
M. le Ministre de la Gkerre informe l'Académie qu'il a désigné MM. Cornu et Sarrau pour faire partie du Conseil de perfectionnement de l'Ecole Polytechnique pendant l'année scolaire 1 898-1899, au titre de Membres de l'Académie des Sciences.
M. Depéret, nommé Correspondant pour la Section de Minéralogie, adresse ses remercîments à l'Académie.
ASTRONOMIE. Sur une méthode différentielle propre à déterminer les variations de la latitude et la constante de l'aberration. Note de M. G. Rigourdan, communiquée par M. Lœwy.
« Depuis assez longtemps on avait été conduit à penser que la latitude peut subir en un même lieu des changements appréciables; mais ce n'est guère que dans les dix dernières années qu'il a été fait des détei'minations
( «49 ) systématiques pour étudier cette variation, qui intéresse à la fois l'Astronomie, la Géodésie et la Géologie.
» On a trouvé ainsi que la latitude d'un lieu peut varier de ±0", ^5, quantité extrêmement faible et qu'on ne dégage qu'avec beaucoup de peine des erreurs multiples dont tes observations sont affectées.
» Ces variations de la latitude ont été étudiées soit à l'aide de cercles méridiens, soit par la méthode dite de Horrebow-Talcott. Les latitudes obtenues avec des cercles méridiens sont affectées des causes d'erreur qui accompagnent d'ordinaire les déterminations absolues. La méthode de Horrebo\v-Talcott passe généralement pour donner ici des résultats plus certains; elle tire cet avantage de ce qu'elle est, en quelque sorte, demi-différentielle. Cependant l'expérience a montré qu'elle n'est pas exempte d'erreurs diverses que nous n'avons pas à examiner ici.
» D'ailleurs aucune de ces deux méthodes ne comporte l'emploi d'instruments puissants, de sorte que les déviations cherchées, de o",25 environ, sont déterminées avec des objectifs dont le pouvoir séparateur ne dépasse guère i".
;) La méthode suivante, qui est purement différentielle, parait exempte de la plupart des causes d'erreur; en outre, elle permet d'employer des objectifs de plus grande puissance optique.
» Une lunette vise le nadir sur un bain de mercure qui rétléchit à la fois dans la lunette l'image du réticule et l'image des étoiles voisines du zénith. Cette lunette est munie d'un micromètre dont la vis, placée dans le méridien, permet de mesurer les distances zénithales au moment de la culmination.
» Avec celte disposition, chaque observation complète pourra se faire de la manière suivante :
» 1° Quelques instants avant le passage au méridien de l'étoile considérée, pointer un fil sur son image réfléchie, ce qui donnera la position de la verticale;
» 2'' Pointer l'étoile aux environs de la culmination, pendant qu'elle traverse le champ ;
» 3° Pointer de nouveau le nadir, afin de s'assurer que l'instrument est resté bien immobile.
» Dans la pratique, on pourra être amené à observer des étoiles assez distantes du zénith, de 20' par exemple. Cette distance est bien grande, pour être mesurée avec la précision que Ton veut atteindre ici; mais il n'est pas nécessaire de mesurer les valeurs absolues de ces dislances : il
suffit de mesurer leurs variations, qui sont très iaibles. Pour cela, le cadre du micromètre mené par la vis sera mimi d'un certain nombre de fds parallèles entre eux et amenés à être perpendiculaires au méridien; l'un de ces fils servira pour la détermination du nadir, et un des autres (celui qui se trouvera le mieux placé) servira pour pointer l'étoile. Ensuite, la distance de ces deux fils pourra se mesnier avec une très grande précision, par coïncidence avec un même fil fixe.
!i D'ailieuis, on aura soin d'emplover un oculaire donnant un grossissement assez fort, et qui devra être mobile dans le sens du méridien.
w On voit que ce procédé, qui n'exige pas d'instrument spécial, permet de raj^porter directement chaque étoile à la verticale; il est indépendant de la stabilité de la lunette; comme il n'emj)loie que des étoiles zénithales, il est indépendant de la réfraction ; enfin, autant que possible, il est indépendant aussi des ondulations atmosphériques, si nuisibles à la précision des pointés.
» Comme il permet de déterminer avec une grande exactitude les variations des déclinaisons des étoiles, il peut fournir les valeurs des constantes dont dépendent ces variations, notamment la constante de l'aberration .
)' Le bain de mercure doit être plus ou moins éloigné de l'objectif, suivant l'ouverture de la lunette employée et suivant la distance zénithale, toujours très petite, des étoiles visées. Il est facile de voir qu'en appelant
d le diamètre extérieur de la lunette à l'objectif, D la distance de l'objectif au bain de mercure, "C la distance zénithale de l'étoile considérée,
la valeur minima de D, pour que toutes les parties de l'objectif reçoivent la lumière de l'étoile, est donnée par la relation
tangC — — pr- ° 2D
» Ainsi, pour une lunette de o'",io de diamètre extérieur et une étoile située à o°2o' du zénith, le bain de mercure devra être placé à 'è'^,ij au moins de l'objectif Avec une hauteur de 100'" et une étoile située à o" 10' du zénith, on pourrait employer une lunette de o™, 58 de diamètre.
» La distance assez grande qui doit séparer l'objectif du bain de mercure peut limiter, dans bien des cas, l'emploi de ce procédé. Mais une disposition réalisée dès l'origine à l'Observatoire de Paris permet de l'ap-
pliqiier avec facilité, car cet Observatoire est percé dans toute sa hauteur d'une ouverture d'environ i" de diamètre, et qui plonge jusqu'au sol des caves : on pourrait donc v placer le bain de mercure à 55" environ en contre-bas de l'objectif. Dès maintenant cette ouverture est libre sur une hauteur de (5™, et les essais vont être commencés avec une lunette de o'".07 d'ouverture.
) On ne manquera pas, sans doute, d'étoiles convenablement placées, car, en relevant toutes celles qui actuellement culminent à moins de o°3o' du zénith de cet Observatoire, on trouve
35 étoiles de grandeur 6.o ou plus brillante?, i33 >> 7.0
ASTRONOMIE. — Sur /a m'sure des peti/s i/ia/uc'lres. 'îfole de M. Maurice Hamy, présentée par M. Lœ\v\.
« Lorsqu'on recouvre l'objectif d'une lunette d'un écran, dans lequel sont pratiquées deux fentes étroites égales et parallèles, l'image des étoiles se présente, au fover de l'instrument, sous forme de bandes alternativement brillantes et obscures, espacées dans le sens de l'écartement des fentes. Ce phénomène est dû à l'interférence des deux faisceaux lumineux synchrones qui traversent l'écran. La netteté de ces franges n'est pas en général parfaite, lorsque l'on examine avec l'appareil une source lumineuse d'étendue angulaire sen^ble. Il arrive même que les maxima et les minima d'intensité de l'image disparaissent, pour faire place à un éclairement uniforme, lorsque les fentes ont un écartement convenable, fonction du diamètre.
" Cette remarque, faite par Fizeau ( ' ), ramène en principe la mesure du diamètre d'un petit astre à la détermination de la distance des fentes qui correspond à l'évanouissement des franges.
" La théorie complète du phénomène a été faite par M. Michelson (-) qui a vérifié expérimentalement les résultats du calcul. 'SI. Michelson a établi que les franges disparaissent et reparaissent, à intervalles réguliers, lorsque l'on écarte progressivement les fentes. Mais leur netteté est de
') Comptes rendus, i" semestre, 1868. Rapport sur le prix Bordin. ,'-) Memoirs of Ihe national Academy of Washington, t. V: 1891.
