C. R., 1S98, 2- Semestre. (T. CWVU. N» 22.) l I J

plus en plus faible, à mesure que le numéro d'ordre de leur apparition s'élève. Celles du second ordre sont déjà peu distinctes.

» En appelant / la distance des fentes qui correspond au premier évanouissement des franges, \ la longueur d'onde o'*^, 5 des rayons les plus visibles du spectre, le diamètre e est donné par la formule

^ ■' / sin I

» Auparavant, M. Stéphan avait donné une formule approchée pour évaluer le diamètre ('), formule demeurant applicable lorsque l'on substitue aux fentes étroites des ouvertures étendues possédant deux axes de symétrie et de largeur petite par rapport à l'écartement de leurs centres ;

» ,T'ai moi-même démontré (^) que la formule de M. Michelson est valable pour des fentes rectangulaires de longueur arbitraire et de largeur petite par rapport à l'écartement de leurs centres.

)) L'application de la méthode aux astres faibles se heurte à une grosse difficulté. La quantité de lumière qui traverse l'écran est insuffisante pour que l'œil puisse discerner les franges. J'ai été conduit, pour obvier à cet inconvénient, à donner aux fentes une largeur atteignant une fraction très notable de l'écartement de leurs centres. La formule (i) cesse alors d'être valable. Il faut y apporter une correction que j'ai calculée en faisant la supposition que l'observation porte uniquement sur la disparition des franges immédiatement voisines delà frange centrale.

» Si l'on observe l'image dans le sens de l'écartement des fentes, l'intensité lumineuse dans une direction faisant un angle 0 avec le centre est proportionnelle à l'expression

E / . co — e \ -

"^9 / sin-n: — r — a\ ,

(.) 1 = /^ Va^-/4-M --^^lcos^(--?^0'^-.

en appelant a la largeur de chacune des fentes, que nous supposons rectangulaires, et /l'écartement de leurs centres.

)) Lorsque le rapport ^ est petit, le facteur — ^;;zr^ — ^^^ sensiblement

(') Comptes rendus, i*"' semestre 1874.

(-) Bulletin astronomique, iSgâ el 189^.

égal à I, pour les valeurs de 0 qu'il v a lieu de considérer dans le voisinage du centre; l'expression de 1 peut alors se ramener à une forme simple, en remplaçant ce facteur par l'unité. On trouve qu'il v a des maxima et minima d'intensité, et que les franges comprenaat la frange centrale,

pour laquelle 0 ^ o, correspondent à 0 ^ zh - -^- En posant

-if

-lia-

V I — w cos — :. — aw,

on reconnaît que les franges s'évanouissent lorsque V est nul. C'est la considération de l'équation V =: o qui a conduit M. Michelson aux résultats que nous avons énoncés plus haut, en faisant usage des Tables de Sir G.

Airj donnant V pour différentes valeurs de l'argument y ('). La formule (i)

en particulier correspond à la racine 1,22. . . de V.

» Lorsque le rapport y n'est pas une petite fraction, on ne peut plus

(O — 0 sin- — ; — a

remplacer par i le facteur .^ — > même pour les valeurs tle 0 qui

correspondent aux franges immédiatement voisines du centre. Il convient alors : i"^ de développer l'expression (2) de I suivant les puissances de y

ainsi que les racines de ^ qui se réduisent à ::z - j, pour -y = o; 2° de

calculer les valeurs de I correspondant à ces racines et à 0 = o, puis d'écrire qu'elles sont égales: 3° de tirer le développement de la racine qui se réduit

à 1,22..., pour -j ^o de l'équation en y ainsi obtenue. L'application delà

série de Lagrange permet de simplifier notablement les calculs. Les opérations conduisent à évaluer des intégrales de la forme

L^== / n/-^y I — w- cos2rmi(hv,

(') ^oi^ Mascart, Traité d' Optique, t. 1, p. Sog.

(jiii bc ramènent aux siiiAanles

l„= j \i — (i:'^f()S2//n»' c/tr, .T, r=: / w\^!i — w'- sin -2 Tfuvfhr.

:■ fjes Tables d'Airy fournissent I„ et la valeur de J, se trouve en différentiant, par rapport à m, la série employée pour le calcul de ces Tables.

>•■ En appelant / la distance des centres des fentes, mesurée au moment oLi l'évanouissement des franges se produit et évaluée en millimètres, le diamèliO, exprimé eu seconiles d'arc, est donné par l'expression

It = I2()",I -\- 96", 5 1 dans laquelle les termes négligés contiennent en facteur i -.

ANALYSE MATHÉMATlQUli. - - Sur quelques types intcgrahles d'équations aux dérivées partielles du second ordre . Note de M. E. Goursat, présentée par M. Darboux.

« En cherchant à former directement des équations aux dérivées partielles du second ordre, intégrables par la méthode de M. Darboux, j'ai été conduit à rechercher toutes les équations du second ordre de la forme

pour lesquelles les équations difiérentielles de chacun des systèmes de caractéristiques admettent une combinaison intégrable, renfermant les dérivées du second ordre.

» Si l'on fait abstraction des équations de la forme (i), intégrables par la méthode de Monge, des équations linéaires et, plus généralement, des équations qui appartiennent à la classe étudiée par M. Moutard, toutes les équations (i), qui jouissent de la propriété en question, peuvent, par quelques transformations simples, se ramener à l'une des cinq formes suivantes :

je nie suis déjà occupé de cette équation {Bulletin de la Société /nal/icmatiquCy t. XXY; 1897), Pt j'ai donné l'intégrale générale sous forme entièrement explicite :

2" .« = [-(z) \ I -+- f>- SI -H q- ,

V (:■) étant une fonction de :; qui satisfait à la condition

on peut se borner aux deux cas de F = -. F = -. — > auxquels se ramènent tous les autres:

3" .vs -I- o( a.-,/))y( V, <7^ ^ o.

où les fonctions o(x,p), ■l{Y,q) satisfont respectivement aux deux relations

-^ = '- -^ k, ^ = '/ -f- /-, dp ç ' di] 'l

/■ désignant une constante quelconque:

1) 4" s = (?* y xp^ -f- p ;

o{ p) et (l/(y > étant racines des deux équations transcendantes

l'intégrale générale de cette dernière équation est représentée par la formule

z = (x-^y') L ( J^y) "^ i^^ ' X')dx -r- j'L{ — Y')((y,

X étant une fonction arbitraire de x et Y une fonction arbitraire de y. Pour faire disparaître les deux signes de quadrature, il suffira de poser

X et ^i désignant deux paramètres variables, F( a. i et <ï>(^ ) deux nouvelles fonctions arbitraires. »

GÉOMÉTRIE. ~ Sur les systèmes orthogonaux. Note de M. Tzitzéica, présentée par M. Darboux.

« Considérons dans l'espace trois points : M,(ic,, r,, 3,) («^^ t,2,3\ où Xi,yi, Zi sont des fonctions de trois variables p,, pn, p^ telles que l'on ait

On obtient ainsi une figure qu'on peut aussi définir delà manière suivante : si l'on a un plan

ux -\- vy + wz -1- /; — o,

dont les paramètres u, v, w,p satisfont à un système de Laplace

et si l'on en prend l'enveloppe quand, respectivement, o, =const., p„ = const., ps ^ const. , on trouve sur ce plan trois points de contact qui sont dans la situation géométrique définie par (t).

» On voit immédiatement de (i) que pour p^ = const. la droite M,M>t décrit une congruence dont M, et M^^ sont les foyers (D.vrboux, Géométrie, jye Partie, p. 2(37).

)) Considérons maintenant le point M(a;, y, s) pour lequel on a

(3) g: = p,(^-^,), |:=^,(^__y,), ^^fi,(,..^)

les conditions d'intégrabilité étant supposées satisfaites.

» Un calcul simple montre que x, y, z satisfont à un système de la forme (2), ce qui signifie que pour p;= const. le point M décrit une surface sur laquelle les courbes p, = const. et 0^= const. tracent un réseau conjugué. Nous dirons que le point M décrit un système triplement conjugué.

» Cela étant, prenons le cas spécial de la figure 31, M, M3 où les congruences décrites par les droites MaM,, M3M,, MiM^ quand, respecti-

( 857 ) vement, p, = const., p2 = const., p5 = const. sont toujours cycliques. On peut faire alors une classification pour les systèmes triplement conjugués définis par (3). Pour cela, nous introduisons la notation suivante : Nous désignons par ^, le système triplement conjugué décrit par un point M(x,Y, z), si le système de la forme (2) auquel satisfont^, y, z admet i

autres solutions R,. R, R, telles que x^ -\-y^ + s' — R^ — . . . — RJ soit

aussi une solution. On obtient alors les systèmes suivants :

» I ° Deux systèmes triplement orthogonaux, les points qui les décrivent sont symétriques par rapport au plan M, jVL M3 ;

» 2° Une infinité de systèmes triplement conjugués i2, ; les points qui décrivent de tels systèmes sont tous distribués sur la droite D perpendiculaire au plan M, M0M3 au point de rencontre des hauteurs de ce triangle ;

» 3" Dans le cas général tous les autres sont i2o.

» Il résulte de ce qui précède, et d'une manière naturelle, une transformation curieuse des systèmes orthogonaux due à Ribaucour(^M//. delà Soc. philomathique, p. 26; 1869) : Étant donné un système triplement orthogonal décrit par le point M(a', j', z), considérons les trois points M,, M^, M3 définis par

et deux équations analogues pour y^ et s,, oii R est une solution du système auquel satisfont X, Y, :■ et x--+-y-^z-. Le symétrique du point M par rapport au plan MjMoMj décrit un nouveau système orthogonal. »

ANALYSE. — Sur la multiplication complexe des fonctions abéliennes. Note de M. G. Humbert, présentée par M. Jordan.

« Le problème de la multiplication complexe des fonctions abéliennes de genre deux peut être posé comme il suit :

)) Soit <p(«/, r) une fonction abélienne aux périodes i '^ ^,\; on pose

on demande dans quel cas la fonction '^ÇU ,Y ) pourra s'exprimer rationnellement à l'aide des fonctions abéliennes en u, v admettant les périodes précédentes.

» Gela revient à dire que U, V augmenleiit d'une de ces périodes quand u, V augmentent d'une période, et l'on en conclut aisément, en désignant par ai, h/, c,. r/, des entiers, que g, h, g' vérifient des relations de la forme

iA) g-a, -^ gh{a. + h,) -h /t'b, -i- g(a„ — d,') - /'( *„ -^ ^^. ) - '^o = o,

(B) ghoj ~h gg'a., H- h^b, -^ /ig'h., -i- ga^ -f- h(h, - d,') - g'd., - d, ==. o,

(G) gha^^ gg'b^-v-h'^a.,-^.- hg'b^-- gc^-\~h{aa- c.,) ~ g'b^ —c„^o.

( D) /l'a, -1- hg'(a, -!- b,) -^ g'^b, -- A(a, - r,) ^ g'{b, - c, ) - c, = o.

» Ges relations ne sont des itlentités que si y. — ^ a' =^ o et 1 -= [j.' -- ' < c<^ qui est le cas de la multiplication ordinaire.

) Si l'on désigne par A, B, G, D les premiers membres des quatre relations ci-dessus, on trouve identiquement

A( rt, -i- a, h -\-a.,g ) — B(rt„ -!- a^g -i- aji) -^-C(b, -r bJi-\ b.,g' ) -^D^b.-i- b,g -i- bji) = F,.

A(a.,A+ b,^g' — c,,) -'-- B(rt2AH~ b.-,g' — c,) - G(a3^-h h, h — f/., ) -^BÇa-^g-- bji - ^2) = F,,

en posant

F, r^ (h- — gg){aid^ •+- l.,c^) -+- g[a.,d, -1- è,,c, )

;- g'{â^. -h 67cZ) + A (fif„c?3 H- />„ ^;, - a,d., — b, c, ) 4- a„ r/, 4- />„ c, ,

F^r.-T (K^ — gg'){b^a,-\-b,a.) -i- g{c„a,^ c,a.)

-^ S'i-bo dj -\-~b,d.,) -4- A (r„ b, h a„ r/o — a, d, — />, c.. -- <-/„(-., -i - </, r.,

où l'on écrit pour abréger a^d, oaI,. - a,^dn

n Si les coefficients des termes en A- — gg' , g, g , h et le terme constant sont nuls dans F, (et par suite dans F,), la transformation (i) est une transformation ordinaire d'Hermite ; c'est le seul cas de multiplication complexe qui ait, à notre connaissance, été étudié; on voit qu'il est loin d'être le plus général, et il ne semble pas que, même dans ce cas, on ait donné des résultats précis sur la détermination des périodes de mulliplication complexe.

» Gela posé, appelons relation de forme canonique entre les périodes une relation du type

(2) o.g-^ (iA + •'§■• -)- KJr — gg) + î = o {f- - '1 ay - /,às > o),

( 859 ) où X, ,3, . . ., £ sont des entiers; on peut énoncer, relativement aux périodes de multiplication complexe, les propositions suivantes :

» 1° Si /es équations fondamentoles (A), (P>^, (C), (D) it» réduisent à une seule, c'est-à-dire si g, h, g' S'int doublement indéterminés, la relation entre g, h, g' est nécessairement canonique.

» 2" Si les équations fondamentales se réduisent à deux, c'est-à-dire si g, h, g' sont simplement indéterminés, les relations entre g, h, g sont deux relations canoniques.

» 3° Si les équations fondamentales déterminent complètement g, h, g', il existe entre g, h, g' une ou trois relations canoniques.

» 11 est aisé dès lors de trouver les multiplications complexes correspondant à chaque cas.

» Dans le premier cas, la relation entre g, h, g peut se ramener, comme je lai indiqué précédemment, à la forme i-g -i- |îA -h ''g' ^ o, et les multiplications complexes sont données par les formules

U = A/ -f- X-yr, Y = - kxu-\-{l - y{-^)K,

/et A: étant deux entiers quelconques. A un système («, v^ correspond un seul système (U, V); inversement, à un système (U, V) correspondent {^ — ^kl ->t- k- aj^Y systèmes (m, c). La multiplication complexe est une transformation ordinaire d'Hermite dans le cas oîi /-(a/ — %k^ est nul; k ^ o correspond à la multiplication ordinaire.

» Dans le second cas, celui de deux relations canoniques, on peut ramener ces relations à la forme

avec les conditions ?- — [\x'.- > o, E > o, E(^- — 4*y) — ^' ]> o; les multiplications complexes sont comprises dans les formules

U=[ rt„ + «o' + (c^- è,)^]«^( Oy + *3^+^j'A);',

rt„, -7. 9. />, étant des entiers quelconques. A un système {u, r) correspond toujours un seul système (U, A^), et à (U, V) correspondent

systèmes («, </).

)) Dans le troisième cas, il existe entre g, h, g' trois relations, dont une