Z ^ ^ 2Y — XY

et pour (Eo)

s = y -^ — y^ — xy- -\- 2xy = —,

la fonction m(^) est une fonction entière qui vérifie une équation très simple

du troisième ordre, et y s'exprime algébriquement en fonction de 5

» Quant au type (VI) de (B), son intégrale n'est pas méromorphe, car X = o et X ^ 00 sont des points critiques transcendants de Y(X). Mais si l'on pose X = e^, Y(ir) est méromorphe. Le type unique ainsi obtenu se laisse ramener à un des trois tvpes plus simples :

(E3) 7j" = /' + (v*-i)e»^+(ay'+:4j)e^

(E, ) yy" ^y -+- y' -+- xy' -+- ye-",

( E, ) yy" = y- -h y' -h e-'y.

» Si l'on pose

pour (E3) z = ^ — «"(j' + 7) + -^"(- ^.r -^ l) = ^'

pour(E,) z = y\^y -y- -i^y^ -

pour (E,) z^^i—- 2 V + — ) = --

la fonction u(x) est une fonction entière qui vérifie une équation très simple du

troisième ordre, et y{x) s'exprime algébriquement en fonction de ( ^ J •

» Passons au type (II) de (C). Soit jk= ct^(m) la fonction elliptique de u définie par l'égalité

l'intégrale de (E^) peut s'écrire v ^ nj( m. a?), u représentant l'intégrale de l'équation

si 2a>,, 210, sont les périodes de cj^(i<), m (a;) est de la forme

M,(ar) -(- C, 10,(0-) + CoOj2(a;), oîi C. et C, sont deux constantes arbitraires.

( 9'!« ) » Toute équation (i) à points critiques fixes, dont l'intégrale est une fonction transcendante des deux constantes {de quelque façon qu'on les choisisse), se ramène algébriquement à un des cinq types (E) ou au type II de (C). Ces types épuisent toutes les transcendantes irréductibles engendrées par les équations (i) à intégrale uniforme. Les types F,,, . . ., E5 sont les premiers exemples connus d'équations différentielles dont on sache que l'intégrale est uniforme sans savoir les intégrer ni les ramener à des combinaisons de quadratures et d'équations différentielles linéaires. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les points singuliers d' une fonction définie par un développement de Taylor. Note de M. Le Roy, présentée par M. Appell.

« La méthode des représentations conformes, utilisée par M. Lindelôf dans la théorie du prolongement analytique {Comptes rendus, 28 février 1 898) pour transformer une série de Taylor en d'autres séries analogues ayant des régions de convergence variées, peut encore servir à mettre une fonction sous forme d'intégrale définie suivant les procédés que j'ai indiqués dans une Note récente {Comptes rendus. 3i octobre 1898).

» Considérons une série entière /(^) =2 y-„^'" ^^nl nous supposerons

le rayon de convergence égal à l'unité. Supposons que le coefficient a„ soit une fonction analytique de n holomorphe pour toutes les valeurs de n dont

la partie réelle est supérieure à — -■ Faisons la transformation d'Euler :

« Il vient

» Supposons enfin la série des coefficients Ip absolument convergente ou, tout au moins, absolument sommable au sens de M. Borel. ) On peut alors écrire

"^^dx.

( 949 ) » Mais on a

J„ désignant la fonction de Bessel. D'où avec

On voit ainsi que /(^z) est holomorphe en tout point du plan, sauf pour les valeurs réelles de z supéneures à i. La droite (+ i. -{- x) est une coupure qui peut être élective.

» On obtient des résultats analogues en faisant certaines transformations autres que la transformation d'Euler : seulement la région oii a„ doit être holomorphe est alors modifiée.

» En suivant celte voie, i";irrive, après quelques discussions fort simples, au théorème suivant : 5/ x„ est holomorphe dans un angle (si petit qu'il soit)

contenant à son intérieur la partie positive de l'axe OX et si la série ^ x„s"

conserve le même cercle de convergence {de rayon i) quand on remplace n par l'affixe d'un point situé dans l'angle précédent, la série en question ne peut avoir de points singuliers que sur la partie (-1- i , -f- x) c^e OX. Il est, en général, aisé de reconnaître si la coupure est essentielle ; dans le cas où elle ne l'est pas, on peut trouver les points singuliers qu'elle renferme et définir l'allure de la fonction en ces points.

» M. Fabry (Journal de Mathématiques, 1 898 ) aAait déjà établi une partie de ces résultats, mais par d'autres voies beaucoup plus compliquées. En outre, sa méthode ne donnait que les points singuliers de la fonction situés sur le cercle de convergence, au lieu que la méthode précédente permet d'éludifer la même fonction dans tout le plan.

» Des procédés semblables conduisent à l'étude de certaines fonctions pour lesquelles la coupure affecte une forme quelconque : c'est un point sur lequel je reviendrai prochainement.

» Je termine en signalant le théorème suivant, très facile à démontrer: 5/ X., est une fonction périodique de n développable en série trigonométrique

absolument convergente (par exemple : x„ = e""'*"), la série ^ a„ z" admet effectivement son cercle de convergence comme coupure.

» Il y a deux cas d'exception. Si a.„ s'exprime par une suite de Fourier limitée, la série n'a qu'un nombre fini de pôles simples, tous situés sur le cercle de convergence. Si a„ est une fonction de n possédant une période commensurable, la série n'a encore qu'un nombre fini de pôles simples distribués sur le cercle de convergence aux sommets d'un polygone régulier inscrit. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la réduction des intégrales multiples. Note de M. Ch.-«I. de la Vallée Poussin, présentée par M. Jordan.

« Le problème de la réduction des intégrales généralisées multiples peut être résolu de la manière suivante :

» Considérons d'abord le cas d'une intégrale double

(') S,f(,T,y)dT.

étendue à une aire T, limitée par les valeurs a et 6 de x, c et d Ae y e\. supposons que la fonction y(a:, y) ne soit jamais négative dans cette aire, mais puisse croître indéfiniment d'une manière quelconque en certains points formant un ensemble discret.

» Soit ensuite m/(x,y) la limite inférieure de la fonction /dans une aire infiniment petite autour du point (x,y); je dis que l'expression

( 2 ) I dy I m/\x, y ) dx ,

dans laquelle chaque intégrale est calculée par défaut (c'est-à-dire en lui attribuant sa limite inférieure d'indétermination), est comprise entre les limites d'indétermination de l'expression (i).

» En particulier, si l'expression (i) est déterminée, l'expression (2) lui sera égale.

» Ce théorème donne la solution générale du problème de la réduction des intégrales doubles dans une aire limitée T. Eu effet, une fonction quelconque peut être considérée comme la différence de deux fonctions positives; d'autre part, si ï n'est pas rectangulaire, T est intérieure à un rec-

( 9^1 ) tangJe T' qu'on peut prendre comme domaine d'intégration, à condition de poser /" = o en dehors de T.

» Si nous passons à une intégrale multiple de l'ordre n on voit immédiatement quelle est la généralisation du théorème précédent, et celte généralisation est légitime. »

PHYSIQUE. — Sur une nouvelle action subie par la lumière traversant certaines vapeurs métalliques dans un champ magnétique. Note de MM. D. M.\r.A- Lcso et M.-O. CoRBixo, présentée par M. Lippmann.

« Dans une Communication présentée à l'Académie dans la séance du i- octobre, nous disions en terminant :

» Xous nous réservons de continuer ces expériences pour en étudier les particularités et pour étendre ces résultats à d'autres corps et dans des conditions variées. Dans une publication très prochaine nous donnerons avec plus d'extension les détails

des expériences exécutées jusqu'ici.

» Et de fait nous avons déjà depuis plusieurs jours communiqué les détails de ces expériences et les résultats obtenus jusqu'ici à l'Académie des Lincei. M. Becquerel, dans une Communication faite à l'Académie le 3i octobre, signale à nos observations certains détails du phénomène, détails qu'au contraire nous avions communiqués à la Société de Physique de Turin dans sa séance du 22 septembre et desquels nous nous occupions dans la Communication faite aux Lincei. Nous devons relever en outre quelques observations, contenues dans notre Communication, qui ont échappé à l'illustre physicien. A la page 649 il dit :

» Un fait important, qui ne me paraît pas avoir été signalé, est que l'écartemenl des bandes autour de D, et D, est notablement différent. Je cite à titre d'exemple, etc.

» Et ensuite il donne quelques mesures desquelles il résulte « qu'autour » de D, l'écartement des bandes est environ les trois quarts de ce qu'il est )) autour de D, ». Eh bien, dans notre Note nous disions :

11 Pour les deux D le rapport des distances auxquelles se produisent d'égales rotations est à peu près égal au rapport des largeurs des raies primitives.

» Comme on le sait, et comme il résulte des mesures mêmes de M. Becquerel et des nôtres, le rapport de D, à D, est égal à trois quarts.

» De même M. Becquei'el pense qu'il nous a échappé qu'avec les niçois parallèles ou croisés la position des bandes ne change pas avec l'inversion du champ, tandis qu'elle change notablement quand les niçois sont à 45°.