,AG

cV2cos\— - = VA + c± VA — c.

On en déduit pour exprimer, soit r, soit 0, les deux formules

R [/^CCOSk

(29) = tang a Log [-7— ^ ( v/Â+7 + /A-c)l .

| l/2ccosX J

11 suffit maintenant de les substituer dans la relation (25), eh restituant en même temps aux abréviations A et c leurs significations respectives (28) et (27), pour obtenir, entre R, a>, X, l'équation du nautile a front normal circulaire.

50. En y faisant co = 0, on obtiendra entre R et X, ou R et'*, l'équation de la courbe capable d'engendrer ce même nautile comme surface nautiloïde à front méridien (N° 32). —

Si l'on coupe au contraire par un cône de latitude, X devient constante, ainsi que A. L'exponentielle est alors proportionnelle a R, qui disparait de l'équation (25); mais il reparait par la substitution de la valeur (29) de 0. La formule exprime alors que a) est, sauf une constante, égal a LogR, ce qui est l'équation de la spirale logarithmique. Nous savons en effet que telle est la projection de la cônhélice.

Nous obtenons de plus les conditions de la réalité de cette intersection. Il nous faut en effet poser, pour assurer celle du second radical

c'est-a-dire

sin 2 X cos ia + cos 2 X + B 2 — c > .

Si le cône de latitude commence par être très ouvert dans le voisinage de l'équateur, X s'écarte peu de 90 degrés, et cette expression de

cos2a + B* — c,

quantité négative. On a en effet

(cos 2a + B 2 ) 2 = B 4 + 2B 2 cos 2a + cos* 2a , c 2 = B 4 + 2B 2 cos2a+l,

et ce dernier résultat est supérieur au précédent. Il faut donc que X reste inférieure à la latitude limite X capable d'annuler l'expression ci-dessus

sin 2 X cos 2a + cos 2 \ + B 2 — c =* ,

tangXo

cos 2a

Cette valeur fournira l'équation de la cônhélice de contact avec le cône limite; laquelle se dédouble ensuite en deux autres pour des latitudes moindres.

51. Si Ton remplaçait z par mz dans l'équation (26) du cercle générateur et dans la suite du calcul, on obtiendrait de même l'équation de la surface nautiloïde à front normal elliptique; type dont se rapprochent dans la nature fossile certaines ammonites.

SECONDE PARTIE Volume, centre de gravité, moment d'inertie