L'élément infinitésimal du troisième ordre v a la forme

d'un cylindre élevé Y * sur la base u nor-

malement au front F, et coupé obliquement par le suivant F'.

L'angle de ces deux plans étant lui même infiniment petit, nous pouvons supprimer, au moyen d'une troncature opérée par un plan parallèle a F, un élément du quatrième ordre. Le volume de v sera alors le produit de n par la hauteur nn 1 (fig. 9).

Celle-ci peut s'évaluer en fonction de l'arc de la directrice rfs = MM\ au moyen des triangles semblables CMM\ Cnn' formés par deux rayons de courbure consécutifs de cette ligne. Je désigne leur longueur par p. Les triangles donnent alors la proportion

Fig. 9

ds p

Il vient donc

v = u(l+$-\ds.

n k = Et* (l + 1) Çdt = dî2t& + — EmÇ*+* .

De là cette formule fondamentale

qui relie les n aux m, pour passer des aires de la génératrice aux volumes de la surface a front générateur.

54. Nous apporterons ici une simplification essentielle en nous fondant sur la condition qui domine toutes nos théories, a savoir la similitude incessante des sections génératrices*

Marquons sur la directrice un point arbitrairement choisi, niais dorénavant immuable. Je le désignerai toujours par la lettre I, et ses coordonnées par n, ôi. A moins d'avertissement contraire, nous adopterons ordinairement pour ce point l'intersection de la courbe par Taxe polaire (Ô|=0); et nous prendrons comme unité de longueur (n = 1) le segment ainsi intercepté sur cet axe.

Les dimensions linéaires de la section variable U de la génératrice, sont a celles de son passage Ui par la trace I de là directrice sur l'axe polaire, dans le rapport de <p(0) a 9(61), ou

en abrégé — . Les éléments superficiels seront dans le rapport

des carrés. On aura donc

c'est-K-dire

(31) mi=, ^î+îN»'

Désignons par fi* le facteur constant

qui dépend de k, mais nullement de 6. Nous pourrons alors écrire simplement

et la formule fondamentale (30) deviendra

(32) «*-(ti* + ^|tJH-i) ?*+■»*.

55- Ceci po^é dans des termes complètement généraux, introduisons des hypothèses progressivement restrictives.

Dans la première partie de ce mémoire, nous avons envisagé des surfaces vectorielles du premier ordre, en supposant que cp(6) ne soit autre que le rayon vecteur lui-même F(6) de la directrice. Nous appellerons plus généralement surfaces vectorielles d'ordre p celles pour lesquelles les dimensions de la génératrice varient comme la puissance p de ce rayon vecteur. Nous prendrons a cet effet, sans nous embarrasser de coefficients constants

(33) <f(0) = 7* = FP(0).

Cet ordre p sera ordinairement entier et positif; mais il peut tout aussi bien devenir fractionnaire, incommensurable, ou même négatif.

Pour />=1, nous retrouverons les surfaces a proprement parler vectorielles. En faisant p«0, on aura en particulier les surfaces-tubes, pour lesquelles la section normale à la directrice reste constante.

Avec une vectorielle d'ordre quelconque p, la formule fondamentale (32) deviendra;

FP+*»dg.

56. Abandonnous le caractère vectoriel, en rendant a <p toute son indépendance; mais particularisons la directrice, en adoptant la spirale logarithmique

(35) ' m F = * A °, F' = A* aô ,

ds = dO v/F*+F /2 = -^- dO, sinfl

(F 2 + F'*)* * aQ

P- F 2 + 2F' 2 -FF" "" sina '

L'équation fondamentale (32) devient alors

(36) ^^+l™lm +l ^..^ Ji

sina

-(■Sï^ + WH- 1 ) *****'

57- Réunissons maintenant les deux caractères qui viennent de nous occuper: directrice spirale et similitude vectorielle d'ordre p. Il viendra, en rendant a 9, dans la formule (36), sa valeur (33)

\sina /

On peut aussi mettre ce résultat sous une autre forme, en introduisant la différentielle dr au lieu de dO

. COSff -fl

rfr = -, * A0 <# .

sin a

Il vient ainsi

»* — (t** + r*- 4 sin « . p* +4 ) -^^- * •

Pour une vectorielle ordinaire (jt?==l), ces deux formules deviennent

\ sin a /

(37) n k - (m + fr+i sin a) -— rfr .

Six

Volume

58. La recherche du volume Y se fera en supposant k = dans les formules générales du § VIII.

Prenons, ainsi qu'il a été dit (N° 54), le point fixe I sur Taxe polaire en supposant 9| = 0, avec des coefficients d'homogénéité

tels que <p(0i)= 1. Dans ces conditions, ji , ou ^ ° 2 , se réduit

a l'aire Ui que présente la section génératrice lors de son passage en I.

: Quant a jjli, c'est alors le moment U« £'i de cette aire par rapport à la verticale de I, en appelant, . pour cette situation spéciale, Ç'i l'abscisse (prise par rapport à i dans le front nor-> mal Fi) du centre de gravité de l'aire Ui.

De son coté n est le volume dS de la tranche, et la formule générale (32) devient dans ces conditions

(38) tfV=(l+!Ç',W ? «A f

c'est-à-dire finalement