S Œ F^ [(FÎ + F '^ + $ ^ (F, + 2F ' Î - FF

Le problème se trouve ainsi ramené aux quadratures. Envisageons quelques applications.

59. Surfaces de révolution. — Nous obtiendrons une vérification en prenant comme directrice un cercle concentrique k l'origine

avec une génératrice constante

9=1.' La formule (38) devient:

rfv=(i + S'4)Ui</e, v = (i + ^)u,e.

Or £'i désigne la distance du centre de gravité de l'aire génératrice Ui a la trace I, et par suite 1 + £'i sa distance a Paxe de rotation. Le produit (1+Ç'i)9 est donc Tare de cercle décrit par ce centre de gravité pendant que l'aire Ui engendre un onglet de ce corps de révolution. Nous retrouvons ainsi le théorème de Guldin.

60. Surfaces-tubes. — Conservons la génératrice constante ç = l, mais avec une directrice quelconque. La formule (38) s'écrira

rfV = (£fc + SVe)Ui, si nous appelons e l'angle de contingence de cette courbe?. On

aura d'après cela

Le volume de la surface-tube s'exprime donc par la somme de deux autres, a savoir: 1° le produit de Taire constante par Tare que décrit sur la directrice celui de ses points qui guiçle le mouvement normalement a cette courbe; 2° le produit de cette même aire par Parc de cercle que décrirait son centre de gravité en tournant de l'angle total de contingence autour de Taxe mené par le point décrivant perpendiculairement au plan de la directrice ( 4 ).

61. Surfaces de gyration. — Je désigne ainsi les surfaces engendrées par la rotation d'un profil méridien dont un point décrit un cercle, mais qui, au lieu de rester invariable, comme pour les corps de révolution, se modifie homothétiquement par rapport a ce point d'après la loi <p(0).

Prenons pour unité le rayon p du cercle qui sert de directrice. Son arc ds sera mesuré par dO, et la formule (38) deviendra

d'où en intégrant

V»Ui/9»(»>» + U«Ç'i/9«(»>«.

Je ne m'arrêterai pas à des applications particulières.

62. Spirales sinusoïdes. — Envisageons comme directrice la spirale sinusoïde

r n » C n cos nO ,

d'ordre quelconque n

F = Ccos n n0, F / = — -Ccos n ndsin n0,

V/F â + F'* = Ccos« n0.

Nous laissons la génératrice quelconque. Toutefois, pour simplifier les résultats, nous la supposerons centrée, c'est-a-dire décrivant la directrice, soit par son centre de gravité lui même, soit par la projection équatoriale de ce point. En un mot : Ç'i = 0.

(') Voy. le mémoire de M. Kœnigs sur les surfaces-tuyaux.

hO

Nous admettrons en outre la similitude vectorielle d'ordre quelconque p. La relation (38) donne alors :

dW

■^- -■ ot ^ + F " "" u,c cos ~ wô '

cos "n nO.dO ,

en intégrant depuis Taxe polaire (6 = 0, r = C) jusqu'à un azimut quelconque.

On peut en particulier, lorsque n est positif, intégrer jusqu'à

TZ

= — ; ce qui correspond à r = 0, en embrassant une demiboucle de la directrice.

63. Quel que soit Tordre n, nous pouvons réussir l'intégration en employant une loi vectorielle toujours la même, à savoir la variation des dimensions de la génératrice en raison inverse de la moyenne géométrique entre le rayon vecteur et la longueur qui sert d'unité.

Cet énoncé donne en effet:

l tp-»+i

On peut notamment appliquer ce résultat aux directrices très simples :

n = — 2 , Hyperbole équilatère, rapportée à son centre, — 1 , Ligne droite quelconque,

— -~, Parabole, rapportée à son foyer,

+ — , Cardioïde, rapportée à son rebrousse ment,

+ 1 , Cercle, rapporté à un de ses points,

-)- 2 , Lemniscatc de Behnoulli, rapportée à son centre-