Posons maintenant (40) %p-n+l ^^ (N+j) n -2/>=l

cos N n(W0-=-^ I cos N a</«.

o n Jo

Attribuons par la pensée a N diverses valeurs déterminées arbitrairement; puis, pour chacune d'elles, faisons varier corrélativement n et p de manière à satisfaire par leurs couples de valeurs simultanées à la condition (40). Si nous conservons à l'azimut une même valeur pour former la limite de l'intégration, Ton voit que la différentielle, et par suite l'intégrale définie, resteront identiques pour ces diverses hypothèses. De là une infinité de familles (de paramètre N) composées chacune d'une infinité de surfaces (de paramètres conjoints n, p) lesquelles, bien que profondément différentes les unes des autres par la forme, présentent cette propriété remarquable d'avoir toutes, pour le même azimut limite 0, un même volume, dont la valeur ne varie que d'une famille à l'autre avec N.

On pourrait même, toutes les fois que N recevra une valeur commensurable, employer l'analyse indéterminée du premier degré a chercher pour n et p des systèmes de valeurs entières qui satisfassent a Péquation (40), de manière a obtenir des spirales sïnusoides et des lois vectorielles simples.

Les systèmes de valeurs de n et p qui satisfont à la condition (40) pour une famille déterminée N, se groupent deux par deux pour des valeurs de n égales et dé signes contraires. Elles correspondent a des spirales sinusoïdes transformées F une de l'autre par rayons vecteurs réciproques, et respectivement associées aux lois vectorielles

qui satisfont a la relation

Il s'attachera de même un intérêt spécial aux familles d'ordre N entier et de signe quelconque; car l'intégration peut alors toujours s'effectuer entièrement par les méthodes classiques. J'indiquerai a cet égard les cas les plus simples.