Envisageons encore la famille de surfaces
v=UiC I cos»M0«re=^ | (i+cos2»e)rfe
TT C = -j-~ (2^0 — sin 27*0) .
Comme premier exemple, prenons le cercle passant par le pôle
n=t, p = t; V = ^(2fl-sin20).
La surface est purement vectorielle, et nous retrouvons l'anneau variable a section normale (N° 48). Le volume du corps entier (pour = tc) est le suivant
v , = xUiÇ
c'est-à-dire le produit de Taire génératrice par la moitié de la circonférence directrice.
La surface conjuguée sera, en changeant le signe de n
Sa directrice est une ligne droite. Les dimensions de la génératrice varient en raison inverse du carré du rayon vecteur, et par conséquent son aire en raison inverse de la quatrième puissance. Le solide, quoique infini en longueur, comme celui que nous avons dérivé de la parabole, reste, ainsi que ce dernier, de volume fini, représenté par la formule précédente.
68* Je prendrai une dernière application parmi les valeurs négatives de N. L'hypothèse N = — t serait précisément celle qui a permis de réussir l'intégration (N° 63), pour une valeur toutà-fait quelconque de n, avec la loi spéciale p=— ~. Il n'y a pas a y revenir.
Passons donc à la valeur
V = UiC I 2-^ = tangnfl.
Jo cos z n0 n
Comme premier exemple dans cette dernière famille, envisageons le cercle
n=t, /> = — 1; V = U|Ctange.
Les dimensions de la génératrice varient en raison inverse du rayon vecteur; et Ton obtient une sorte de conque évasée en forme de cor. Son volume total serait infini; mais on peut le déduire de la formule précédente pour un azimut poussé aussi près que l'on voudra de rc.
La figure conjuguée
correspond a une directrice rectiligne, avec section constante. C'est donc un cylindre quelconque a bases parallèles; et son volume connu nous fournit une vérification de la formule précédente.
69. Surfaces nautiloïdes. — Arrivons enfin a l'objet principal de ces études: les surfaces nautiloïdes, à front normal, directrice spirale et similitude vectorielle ordinaire (p= 1). La génératrice reste quelconque; et c'est à titre particulier que l'on pourra invoquer, pour le nautile à front circulaire normal (N° 49), le résultat général que nous allons formuler.
La relation (37) donne alors, pour k =
r^dr d V = n = (|jl + |u sin a) ■
cosu
d'où ( 4 ), en intégrant a partir du pôle (r = 0).
V= U< (l+5'ising)r3.
3 cos a N '
11 ne faut pas perdre de vue que cette formule totalise le volume de toutes les spires consécutives, qui parfois se pénétrent mutuellement dans une même portion de l'espace. Mais il est facile de s'a (Franchir de celte complication. Il suffit a cet égard de se limiter a l'évaluation d'un tronçon d'amplitude inférieure a 2ic. Il sera la différence de deux expressions semblables à la précédente; et dans cette soustraction la partie compliquée aura identiquement disparu.
Supposons en particulier une génératrice centrée sur la verticale du point décrivant (£'* = 0). Il vient alors plus simplement, pour le volume compté à partir du pôle
3 cos a et pour un tronçon limité M'M"
y» y/ U ' fri/i ^ r«-,-> V^ + TM + r'r') ^ 3 cos a ' cos a 3
Or représente l'arc s de la spirale logarithmique compté
a partir du pôle, et Uir 2 mesure la section U au point quelconque M de rayon r. On peut donc écrire
D'après cela, le volume d'un tronc limité de nautiloïde à front normal quelconque, mais centré , est le produit de Parc de spirale que décrit le centre de gravité de Paire, par la moyenne arithmétique de la grande base, de la petite base, et d'une moyenne géométrique entre ces deux bases.
(i) Dans cette formule, et toutes les suivantes relatives aux surfaces nautiloïdes, a disparu l'homogénéité, que nous avions au contraire mise en évidence pour les spirales sinusoïdes; attendu que l'équation (35) de la spirale logarithmique suppose que l'on a pris pour unité la longueur 01 interceptée sur Taxe polaire.
SX Centres de gravité
70. La recherche du centre de gravité (c'est-a-dire celle du moment du premier ordre) se fera en supposant dans les formules générales du § VIII, k=\. Les coordonnées de ce centre sont en eflet le quotient par V (dont nous possédons mainte' nant l'expression) des moments Ev.r, Ei;y, Erz. Nous reprenons d'ailleurs une entière généralité pour les trois fonctions
Nous poserons d'abord des formules fondamentales (fi g. 9)
x = Op = OM cos MO A + Mn cos (MOA — KMO)
= r cos -f- Ç cos 6 — ( — — a\ L c'est-à-dire
(41) x = r cos + Ç sin (0 -f a) , et de même
(42) y = r sin — Ç cos (0 + à) .
Prenons d'après cela le moment relatif au plan YOZ, qui nous fournira l'abscisse du centre de gravité ( 4 ),
dUvx = r cos Eu + sin (0 + a) EuÇ = n Q r cos + it{ sin (0 +a)
= ( m H ] r cos Qds + ( au + — ) (sin . ds cos a + cos . ds sin ar)
5=8 (^0+ R) ? 2 ** cos 0d!s + f [xi + — |x 2 J <p 3 (rfr sin 6 + r cos rffl) .
(*) Je crois devoir signaler à l'attention que, dans cette formule, et pour un grand nombre des suivantes, le signe de sommation E s'étend dans le premier membre à tout l'ensemble du corps considéré et, dans le second, seulement à % la tranche infinitésimale. C'est au fond le dE du premier membre qui équivaut aux E du second ; les deux membres des équations se rapportant, bien entendu, au même système matériel. .
Nous aurons donc, en divisant par 8
d dO
(43) -JgZvx^ifoprcme-g
+ |iicp 3 1 — cos 8 —zz- + r cos 8 + -^- sin 8 j + Ji-jç 4 1 r cos 8 -J- —m sin J •
On trouverait par une marche semblable (42) d ^ , .. ds
(44) 2î;y = (x 0? Vsin8-^
+ (xiç 3 1 — sin 8 — ^ + r sin 8 — -^ cos 8) ) -f* [**<p 4 (f sin 8 — -r^- cos 8 j .
71. Envisageons en troisième Heu l'altitude z. Il vient a cet égard (N° 54)
dZvz = Zuz(\+^ds = dsZuz+ — l t uz$.
Nous avons représenté ci-dessus par wii, mj, . . . , les intégrales £t*£, Et/Ç*, . . . , fonctions de la seule abscisse Ç de l'élément u. Désignons de même par /i, &, ..,, les intégrales Et**, Et***, ..., fonctions de l'altitude « uniquement; et encore par t% l'intégrale Euz£ qui dépend a la fois des deux coordonnées. Ces symboles représentent, au même titre que les précédents *w, des quantités qui doivent être considérées comme connues d'après l'équation de la génératrice (§ XIV).
De plus nous poserons, comme au N° 55, en nous rapportant au même point arbitraire I
Il viendra dans ces conditions
En substituant dans les formules générales (43), (44), (45),
les expressions classiques de -^- et p, nous posséderons donc
du
en fonction de 0, <p, F, F', F" les dérivées par rapport à des
moments relatifs aux trois plans coordonnés, et le problème se
trouve ainsi ramené aux quadratures.
72* Attachons nous spécialement au cas des surfaces nautiloïdes, pour lesquelles nous avons
dO ' dO sina \ r sina
Il vient alors (43), avec une valeur constante pour a (fàvx 4 cos
. cos g f cosa . \
= IV —s + IM/** 2 cos 6 H — : sm 81
u sin a * \ sm « /
. t . / * , cosa . A
+ ujr* sin a I cos -\ — ; sm ,
\ sina /
et par suite:
2w = (-P— + |aj\ cos a ! ** a6 sin dO \sina ^ ) J^
+ (-^- + 2111 + 111 sin «^ | *"°cos0<0.
\sma /J-oo
Rien ne serait plus facile que de transcrire le résultat de ces intégrations, qui sont classiques; mais nous pouvons en simplifier l'expression de la manière suivante.
Le centre de gravité du volume, étendu depuis le pôle jusqu'au front normal mené par le point décrivant M. d'azimut 0, fait, d'après la similitude fondamentale, partie de l'édifice géométrique dont ce point est le directeur. Il suffit donc de déterminer la position de ce centre dans l'édifice pour un seul instant; par exemple pour le point de repère I, qui a été choisi sur Taxe polaire. Le centre G occupera ensuite, par rapport au terminus quelconque OM, une position hoinothétique de celle que présente ce dernier Gi relativement a 01.
En un mot, il nous suffit d'intégrer, non plus de — oo à 0, mais de — oo h zéro. Ces quadratures, qui ont naturellement
bô
des expressions plus simples que les précédentes sont
4A6 sinerfe = -
sin'tf
** a6 cos0</0 =
1 + 15 cos* a 4 sin a cos a
1 + 15 cos 2 a et nous donnent
(1 + 15 cos* a) Çùvx)i = — sin* a cos a j -£ h |xj J
+ 4 sin a cos a ( . ° + 2iti + us sin a ) , \sina r- r- j
c'est-n-dire finalement
(1 + 15 cos 2 a) (Lvx)i = 4jt + [ii sin a (8 — cos ^ + (jlj sin a (4 sin a — 1) .
On trouvera de même (44)
(1 + 15 cos* a) (Evy)i = — |x sin a — 2|M (1 + cos 2 a) — |xj sin a (1 + 3 cos 2 a) .
En ce qui' concerne le troisième moment, il nous vient (45)
-fi Xvz = (X 4 + V% sin «) -
dO ' cos a "
cos a J..» 4 cos* a v J
et en particulier pour le point I
vi \ sin a .. ... . x
(Lvt)l = 4 cos 2 a (Xi + X 2 Sm fl) '
