XI
Lieux géométriques de centres de gravité
73. Proposons nous la recherche du lieu géométrique du centre de gravité, lorsque vient a se mouvoir le point décri-
vant, terminus d'un tronçon variable. Nous distinguerons a cet égard trois problèmes différents.
Nous pouvons en effet envisager: 1° le lieu du centre de gravité y de l'aire génératrice sans épaisseui U comprise dans le I)lan de front; 2° celui du centre de gravité g du tronc de cyindre infiniment mince rfV compris entre ce front et le suivant; 3° ou enfin celui du centre de gravité G du tronçon fini V renfermé entre une section fixe et un front variable. Abordons successivement ces trois questions.
74. J'appellerai r\ ff, z' les coordonnées du centre de gravité y de l'aire sans épaisseur de la section génératrice. Il se trouve déterminé, dans le plan de front lui même, par cette altitude z f et son abscisse Ç' relative au point directeur M
Marquons par f sur la figure 10 la projection équatoriale du centre de gravité f de l'espace.
Fig. 10 Le triangle OM? nous donne en premier lieu
ÔTo = ÔM* -f- My5-2ÔM • Mïo • cos OM^o On a d'ailleurs
cos OM y = — sin a »
ds j/f* -}- F'*
Il vient donc
(47) r / -i/r» + Ç / * + 2rÇ /
En remplaçant r par F, et Ç' par l'expression (46), nous aurons celle de r 1 en fonction de 0.
Le même triangle donne en second lieu
sin MOï
sin OMï
Mïo
Oïo
c'est-a
-dire
sin(0-
= —7- cos a =
dr Ç
En substituant pour £' et r' les valeurs (46) et (47), nous obtiendrons celle de 0' en fonction de 0. .
L'élimination du paramètre entre les expressions (47) et (48) fournira, avec les coordonnées polaires, r 7 , 0', l'équation du lieu géométrique de la projection équatoriale ï du centre f. Quant a l'altitude z f de ce dernier, elle participe à la similitude générale dont le rapport régulateur est <p. On a donc, en se repérant au point I
zi <p(o)
En adjoignant cette relation aux deux précédentes (47) et (48) pour l'élimination de 0, Pon obtiendra entre r 7 , 0', z r les deux équations du lieu géométrique du centre de gravité 7 dans l'espace.
75. Passons au second problème, en envisageant, a la place de f, le centre de gravité g du volume de la tranche infinitésimale.
Désignons par r /; , 0", x 11 ses coordonnées, et par £" son abscisse dans la section frontale par rapport au point directeur M. Si Pon remplace, sur la figure 10, f par ^ , projection de g, il n'y aura rien a changer pour la marche des calculs, si ce n'est que, dans la relation (46), les intégrales m, relatives a Paire sans épaisseur, doivent être remplacées par les n, qui se rapportent au
volume de la tranche. 11 vient ainsi:
mi-\ |Aicp 3 +^— T —
(49) g"--*- *-- P = ? Jf±P + ^^.
«• ^ + «L ^+Jl£ Y HoP + W*
En substituant (49) à (46), on n'aura qu'à conduire des éliminations semblables pour obtenir entre (r", 8"), ou entre (r /, l 6", z") les équations respectives du lieu géométrique de g Q sur l'équateur, ou de g dans l'espace.
76. La modification sera plus profonde pour la troisième question. En effet G ne se trouve plus dans le plan de front, comme g et comme 7. Nous appellerons (r"', 0' ,f % z rf ) ou (#"', y'", z'"), ses coordonnées.
Une première méthode consistera simplement à éliminer 6 entre les expressions qui nous sont connues (43), (44), (45) et (39)
En les envisageant toutes les trois à la fois, on obtiendra les deux équations du lieu de G dans l'espace. Si l'on se borne aux deux premières, elles fourniront celle du lieu de sa projection G dans le plan de l'équateur.
Mais nous pouvons d'autre part rattacher cette recherche à des aperçus tout différents.
77. Si l'on décompose un système matériel quelconque en diverses parties, pour condenser en leurs centres de gravité respectifs leurs masses individuelles, on constitue par la un système fort différent, dont le centre de gravité est néanmoins resté le même.
Appliquons ici ce principe, et condensons au centre de gravité g de Tune des tranches élémentaires sa masse rfV, en la répartissant sur Tare infinitésimal ds" qui en traverse l'épaisseur le long du second des lieux géométriques que nous avons appris à déterminer (N° 75). Si Ton fait celte opération pour toutes les tranches, cette ligne s" se trouvera transformée en un
dV système matériel de densité variable -jjj- ; lequel aura le même
centre de gravité G que le volume du tronçon V correspondant aux mêmes limites.
Or la formule (38) nous donne
'V-(ft> + |M ■*)?«*,
en fonction de et dO, et par suite aussi en 0' 1 et dO" d'après les éléments de l'élimination relative à la seconde question. Lare ds n nous est connu de même en d 1 ' et dO n . La densité le sera donc de son côté en 0'\ ou si Ton veut en s n .
Le troisième problème se trouve ainsi ramené a cette autre recherche d'ordre général : trouver le centre de gravité d'une courbe dont la densité variable est exprimée en fonction de son arc. Les coordonnées de G seront ainsi obtenues en fonction de s", ou de 0', et l'élimination du paramètre auxiliaire, con- . duite comme au N° 76, en fera connaître le lieu géométrique.
78. Cette méthode peut être employée pour les surfaces nautiloïdes.
A la vérité la remarque invoquée ci-dessus (N° 72) que les centres de gravité f, g, G sont liés a l'édifice géométrique, suffit alors à nous montre a priori que leurs lieux géométriques sont des cônhélices; mais nous ne saurions nous en tenir a ce simple aperçu, et nous poursuivrons leur détermination complète. Je me bornerai toutefois à la recherche du lieu G, qui exige la connaissance préalable de celui de g\ mais nous ne nous arrêterons pas au lieu géométrique de 7, qui s'obtiendrait d'une manière toute semblable.
Nous avons d'après les formules (35), (49), (47)
Qi r sma r |H-Hn-sm« ^ jr
l*o , (Ao + iMsina* |i + |ii sin a '
• I fM
sma si nous employons l'abréviation j pour désigner le radical /=* VVo+I 1 » sm * 2 )"l" (N+W sina) a +2(|i. -f(Xi sina)(|xi+|jt 2 sina)sinà.
Il nous vient d'autre part (48)
sin (0 — fr') = — cos a ~ — : — (ji* + jaj sin a) ,
• arc sin
■[^^(rM + r*»»«)J.
et par conséquent, en éliminant entre ces deux valeurs
si Ton' fait pour abréger
8 = arc sin — : — (ai + m* sin a) + taner a Log — ^ — : — .
L ; 'J D D Uo+R s in<iJ
Le lieu de la projection g du centre de gravité g des tranches infinitésimales est donc une spirale logarithmique égale h la directrice, mais déviée de l'angle 8.
Quant à l'altitude z ,f de g, elle est donnée par la formule suivante, semblable à (49)
g „ *ip + X*cp d'où, en remplaçant cp par r, et p par
sin a 'Xi + ^2 sin a
[i + jxi sin a ' c'est-a-dire
„ X| + Xî sin a A j 0" + arc sin f^ii (^ -f {jl, 8 in o)l !
fi. +fjti sin«
3" est donc proportionnel a r", et par conséquent, dans l'espace, le lieu de g est la cônhélice qui a pour équation
z '' = (X 1 +Xjsina)r".
7&. Cette ligne conservant une inclinaison constante sur l'horizon, si, après y avoir réparti la masse des tranches qu'elle
traverse, on rabat verticalement, toutes ces masses sur la projection équatoriale, on constituera une spirale logarithmique matérielle possédant, en fonction de son propre arc, une loi de densité identique à celle de la cônhélice. Le centre de gravité G de cette dernière se trouvera donc sur la verticale de celui de cette spirale logarithmique.
Si d'un autre coté, en reprenant sur la cônhélice les masses qu'on y avait réparties, on les transporte horizontalement sur cette verticale, cette opération ne changera pas le centre de gravité cherché. Il n'est donc autre finalement que celui de cette droite hétérogène. Mais les arcs de cônhélice sont, d'après Ja constance de son inclinaison, proportionnels a ces éléments de verticale. La densité de cette dernière suivra donc encore, en fonction de J 'altitude, la même loi qne celle de la spirale en fonction de son arc.
Or l'élément infinitésimal du troisième ordre v est proportionnel à uds, par suite à r*dr, a r''*rfr", ou encore à s u ^ds" Q sur la spirale, et a z"*dz 11 pour la verticale. La densité varie donc sur ces deux lignes en raison de s" * et de z f/ *.
En ce qui concerne la verticale, l'altitude z!" du centre de gravité G s'obtiendra d'après cela immédiatement
tz'l
h*dh
h*dh
Quant à la spirale logarithmique, j'ai traité dans une autre occasion {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, tome cxlii, page 1174) de la recherche du lieu géométrique des centres de gravité de cette courbe lorsque sa densité varie en raison d'une puissance quelconque de son arc, entière, fractionnaire ou incommensurable, positive on négative. J'ai montré alors ( 4 ) que ce lieu est une spirale logarithmique dont j'ai déterminé les éléments. Je me bornerai ici à les transcrire pour le seul cas qui nous occupe, dans lequel l'exposant est égal a 2.
Si l'on emploie la notation auxiliaire
cot 8 = 4 cot a ,
(!) Sous certaines réserves relatives à l'exposant négatif, qu'il est inutile de rappeler, puisque ce cas ne se présente pas ici.
on a pour les coordonnées horizontales de G
y''«3r , 'sinPsin(0 / '--p), et pour le Heu de ce point
c'est-a-dire une spirale logarithmique égale au lieu géométrique de g et déviée de
A = arc cot
/* xi • w / 3 cosa \
(4 cot a) + tanga Log — — - ) ,
\ y sm* a + 1 6 cos* a)
ce qui revient finalement a faire tourner la directrice de l'angle 8 + A.
Si Ton résolvait numériquement par rapport a l'angle a l'équation transcendante
8 + A = 2/bc,
on déterminerait ainsi des surfaces nautiloïdes spéciales, dont la directrice (quelle que soit la génératrice) contient en elle-même tous les centres de gravité du volume croissant à partir du pôle.
