Il vient en cinquième lieu
d'Lvxz = r cos £»z + sin (6 + a) E»iy: , = rcosfiS«n+l\z + sin(e + «)S«(l+— \%s,
- r cos 6S«« + 1"- cos fl + sin (6 + a)] && + Mn ^ + a ) x u tf z . = Ui H J r cos -|- [l f t H ) (sin a cos 6 + cos a sin 6),
et enfin, en multipliant par -^- *
(56) ^^-(X.+Ax-J^eo.l + ^X'j + -î-xA <p* ^ cos 6 + -J- sinfl) .
(') Il faut «marquer que la valeur (55) concerne Vlvxg, tandis que le facteur 2 n'accompagnera pas celles de Sexe, 2 vy* (5G), (57;.
85* On trouvera en sixième lieu par une marche identique
dLvyx = r sin 2t>z + cos (0 -f- a) Hv^z , -y- Evyz = f/i -j yr sin + I /'a H ) (cos a cos — sin a siri 9
, . .. rfs
et en multipliant par -^
(57) i^y^^ + n^cpB^sinfi
- (x'î + ^Xs) <p 4 (rsinO-^-coseV
86* Les six formules (51 à 57), après que Ton y a substi-
ds tué p et —jx en F, F', F", puis F et cp en 0, ramènent aux quadratures la détermination des six sommes auxquelles se réduit la recherche d'un moment d'inertie quelconque. Elles renferment les intégrales définies
IA , |ia, Xj;
qui devront être déduites de l'équation de la génératrice, lorsque celle-ci sera spécifiée dans chaque cas. Mais ces huk intégrales forment deux groupes bien distincts. Les cinq premières ren-r ferment au premier degré l'une au moins des coordonnées z, £, Elles s'annulent donc identiquement . en cas de symétrie du profil générateur par rapport à l'axe perpendiculaire a cette coordonnée. Toutes les cinq disparaissent a la fois d'après cela, en cas de symétrie dans les quatre angles droits ( 4 ). Au conr
(!) Par exemple, pour le cercle, qui est symétrique dans les quatre angles, on a, en prenant son rayon comme unité
P-i = P-3 = ^1 = ^2 = V3 = , fie 3 *, {x 2 =:X2==-j.
Ce cas prendra beaucoup d'importance (en dehors des §§ 111 et VU) dans |es troisième et quatrième parties de ce mémoire, où il constituera le système permanent des valeurs des huit intégrales.
traire, les trois dernières intégrales ne sauraient jamais s'annuler, car elles expriment l'aire et deux moments d'inertie (*).
(') Pour présenter un exemple comportant les huit intégrales, supposons que la génératrice soit la parabole
(d'ordre positif quelconque, entier, fractionnaire ou incommensurable) dont le sommet soit placé au point I. en appelant b la base, et h l'ordonnée extrême du segment considéré. L'élément superficiel prend alors la valeur u = didz , et l'intégrale l'expression
hi+i &'+«
Le tableau suivant résume les applications de cette formule à quatre exe m-
Intégrales
Exposants
Facteur d'homogénéité
Rectangle
Triangle
Parabole
da 2 e degré
Seconde parabole enbiaae
Po
lu
bh
2uz
bh*
Stip
SuÇz
bW
Stt2*
bh}
bh*
Zupz
bW
Pour conduire jusqu'au bout la présente analyse sans nous assujettir à la complication de nos six formules générales, nous conviendrons de nous réduire au cas de la disparition des cinq intégrales impaires. Dans ces conditions, Jes deux dernières dérivées (56) (57) s'annulent d'elles mêmes
~^vxz = 0, ^-0 5
et les quatre autres se simplifient de fa manière suivante
pies simples, à savoir: une horizontale, une droite inclinée passant par lo point I, la parabole du second degré, la parabole semi-cubique (fig. 11).
Les deux premières colonnes présentent la désignation des huit intégrales qui figurent dans nos formules générales, et les deux suivantes les exposants correspondants. La cinquième renferme le facteur d'homogénéité, et les quatre dernières les valeurs numériques çles coefficients pour les quatre exemples en question.
-jg Sr (x* - y») - no? V* -^ cos !
2 -^r 2t;j?y = |io<f V* -^- sin 26 4 2r« r8 ""U) . ,///l 1 \ .
sxin
Application aux nautiloïdes
87- Appliquons ces formules aux nautiloïdes a front normal, et génératrice quelconque.
Il vient en remplaçant ç par r, ou e™
du sin a
d où, en intégrant entre le pôle et un point quelconque
5 cos a 5 cos a
Si nous considérons eh particulier le tronçon qui s'étend du ' pôle au point I, nous aurons
5 cos a
On trouve en second lieu
d * 5AÔ
2»(^ + y f ) = [lio + ! xt(l+2sin2a)] ¥ - -,
(60) [Et> (.r 2 + y 2 )] i — -^ —r •
v ' L v J /J 5 cos a
En troisième lieu:
-^ S* Çr 2 - y 2 ) = | 2|ij sin 2* sin 20
+ [|*o + (4 sin 2 a — 1) fia] cos 26 et par suite
g SA0
sin a
E*(r« — y 2 ) = 4 [ij cos û ! * 5A8 sin2e</0
l* + (4«in»«-1)ttt T^ a6 cos JM| sm a J-»
Rien de plus facile, encore une fois, que d'effectuer ces intégrations (N° 72), mais je préfère remarquer qu'en raison de la similitude, l'ellipsoïde de I'oinsot relatif au pôle pour le tronçon variable, fait partie de l'édifice géométrique entraîné par le point directeur de son azimut terminal. Il suffit donc d'en obtenir la détermination pour un seul tronçon, par exemple celui qui aboutit en I (6 = 0). Une fois celui-ci connu, il suffirait, pour tout autre limité a un point quelconque M, d'y faire passer l'axe polaire, auquel on rapporterait cette nouvelle figure. Elle se retrouverait alors dans les conditions identiques aux précédentes, sauf les dimensions absolues; et le nouveau moment d'inertie serait a ■ l'ancien dans le rapport des cinquièmes puissances des rayons-limites.
Noua n'avons donc qu'a effectuer les intégrations entre — »
et zéro. Or ces deux quadratures ont pour expressions
* 5Ae sin2ft/e=-
2 sin- a
4 sin* a + 25cos 2 a
J—oo 4 sin*a + 25cos*a
II vient d'après cela
(4 sin 2 « + 25 cos 2 a) [Sr (j?« — y»)]i =
o • « i , - - no + (4sin f a— 1)|ij
— 2 sin* a . 4 ti* eos a + o sin a cos a J :
sin a
ou en réduisant
L v * yj 4 sin* « + 25 cos 2 a
Une analyse toute semblable donnera d'autre part
[ — 2|io + 6 (3 sin 2 a — 2) pu] sm fl
(2St;.r#)i = -
4 sin 2 a + 25 cos 2 a
88» Si nous voulons déterminer les axes principaux d'inertie du pôle pour un bloc nautiloïde, de génératrice quelconque, il suffira, d'après la remarque précédente, de le faire pour le tronçon Ol; leur disposition angulaire par rapport au front normal du point terminus restant immuable et liée à l'édifice géométrique de ce point.
Remarquons tout d'abord que l'un d'eux est l'axe zénithal lui-même. Nous avons trouvé en efTet (N° 86) pour les deux intégrales qui s'y rapportent des dérivées nulles (59), entraînant des intégrales générales constantes, et des intégrales définies nulles
Y*vxz = , Ytvyz = ,
ce qui est le caractère d'un axe principal OZ.
Les deux autres seront dès lors les axes de symétrie de l'ellipse suivant laquelle l'équateur coupe l'ellipsoïde de Poinsot. Or le calcul classique de la réduction d'une ellipse a ses axes
donne pour l'angle a que fait l'un d'eux avec OI la valeur
tang 2a =
-tan ga ""^ + 6(3sin8a "" 2 )!Xa 5 * 5|JL + (l2sin 2 a-5)|,.î *
Si par exemple on envisage en particulier la plus simple des spirales logarithmiques, celle de 45 degrés, il vient avec une génératrice quelconque
rang 2a =
2ft, + 3pn 5 h) + H '
et si celle-ci est un cercle (N° 86, note 1) comme dans le nautile
tang2a -ij- , «= 13°49'22",75 .
§ XIV Front oblique
89. Dans ces théories relatives au volume, au centre de gravité et au moment d'inertie, nous avons essentiellement supposé le front normal, avec une entière généralité d'ailleurs en ce qui concerne la directrice; la génératrice, et la Joi de similitude. Nous pouvons maintenant nous affranchir de cette restriction, et rendre à la loi d'inclinaison frontale toute son indépendance.
Considérons en effet (fig. 12) le front MF mené sous un angle Fig# 12
quelconque
par rapport au rayon vrcteur OM; et soit M'F' un front infiniment rapproché. L'épaisseur élémentaire de la tranche, mesurée en M, sera MH perpendiculaire à ces droites, et l'on aura dans le triangle rectangle HMM ;
MH = MM' cos HMM' = ds cos (iMM'F - j) = sin (t + a) ,
ou d'après la valeur de a
MH = ds sin h (0) + arc tang -M-
Dans les théories précédentes, l'épaisseur de la tranche en O était exprimée par ds. Il nous suffit donc, pour passer d'un cas a l'autre, d'introduire dans toutes Jes expressions différentielles auxquelles nous nous sommes trouvés conduits, le multiplicateur
(61) sin U + arc tang ~^J .
Je ne saurais, bien entendu, reprendre avec cette modification la série des calculs et des discussions qui précèdent. Je me bornerai à en montrer l'application sur les deux exemples suivants.
90. Adoptons comme directrice un cercle passant par l'origine
r = F(O) = Ccos0,
et supposons un front valsant, c'est-à-dire exécutant autour de la verticale du point décrivant M une gyralion proportionnelle a la rotation du rayon vecteur
t a s <|>(0)«.ift6.
Supposons enfin que la surface soit vectorielle du premier ordre. Tout se trouve ainsi déterminé, à l'exception de la génératrice qui reste quelconque. Nous la supposerons cependant centrée, pour obtenir plus de simplicité dans les résultats.
Il vient dans ces conditions
F K ir
p r = -cot6, arctang- 7 = s 6+— .
Le multiplicateur (61) devient donc
sinfwie + (-|- + e) ]=:COs(w+l)e.
Je signalerai tout d'abord une dualité qui associe deux par deux des allures valsantes distinctes aboutissant aux mêmes résultats. Supposons une nouvelle vitesse angulaire m! qui satisfasse à la condition
Le multiplicateur ne sera en rien modifié, non plus par conséquent que les conclusions de l'analyse. Or cette relation nous donne
Le nouveau problème se rapport donc a une rotation de sens contraire, dont la valeur absolue est modifiée dans le rapport de m + 2 a m.
91. Effectuons l'intégration. La Formule (38) qui exprime le volume devient, par l'adjonction du multiplicateur (61), et en tenant compte de ce que la section génératrice est centrée
rfV = U 4 cp*cos(m+l)0.rfs.
Or nous avons pris
r = C cos y <p = pr cos , ds » CdO ;
rfV
— — - =s UiC cos 2 cos (m + 1) , au
2 dV
• = (1+cos29)cos(m+l)e,
u*c cte
4 d\ y-^--^- = 2cos(m+l)e + cos(w + 3)e + cos(m-l)9,
et en intégrant entre les points I et M, c'est-à-dire de à 9
Trr v =-4r7 sin ( w + , )9
UiC m-\-\ v
+ — Î- -sin(m + 3)e + --- sin(wi-1)e.
II faut toutefois faire exception pour les trois hypothèses qui annulent quelqu'un des dénominateurs
#1 = 1, wi = — 1 , m = — 3.
La première m = t donne directement
TT^4!= ! + 2cos2e + cos4e ' UiL. du
-^- V = 0+ sin 26 + -JJ- sin 46 .
La dernière m = — 3 constitue précisément avec celle-ci le cas de dualité, et fournit le même résultat.
La seconde hypothèse m = — t donne de son côté
4 dW 2 + 2cos26,
T V = 26 + sin20.
Elle se confond d'ailleurs avec son propre cas de dualité. On remarquera que le front fait alors, à l'extrémité M du rayon vecteur, un angle alterne-interne égal à celui que forme, en l'autre extrémité O, l'axe polaire. 11 reste donc parallèle à luimême, et l'on se trouve dans le cas déjà signalé (N° 5, note 1).
92. Généralisons l'analyse précédente en substituant à la directrice circulaire la spirale sinusoïde dont elle n'est qu'un cas particulier
r n = C" cos nO .
Nous étendrons de même la loi de similitude en supposant une
surface vectorielle d'ordre quelconque p
cp= I— J =cos n no ,
Il vient dans ces conditions
ds == C cos n n6 dO , a = — — nO ,
sin ( <|> + arc tang — - j = cos (n6 — <|>) .
L'expression (38) du volume (de section centrée) devient, en la complétant par ce multiplicateur
d\ — Uicp V* cos (nfl — <|>) ,
cos n nO cos (rcfl — <|>) ,
U|C </0 quelle que soit la loi <j> de l'inclinaison frontale.
93. Signalons de nouveau une dualité analogue à celle que nous avons déjà rencontrée.
Relions à cet effet a la loi quelconque <|>, une nouvelle allure valsante par la condition
(nO — <|>i) == — (nO — c[>) .
Le multiplicateur ne sera pas modifié, non plus que les résultats. Or on déduit de la
(62) <[>i = 2n0-<|> = Tr-(<|> + 2tf).
Traçons d'après cela en MF t le symétrique de MF par rapport a la tangente MA, et prolongeons-la en sens contraire suivant MF?. Nous obtiendrons en F|MA. l'angle <[> + «, et en FsMO : <[> + 2tf ; par conséquent en OMFa : % — (c[> + 2a). Le front conjugué est donc le symétrique du proposé par rapport a la tangente de la directrice.
94. Faisons maintenant certaines hypothèses sur la loi d'indinaison frontale cj>.
Je suppose en premier lieu que le plan de la génératrice soit assujetti a rester symétrique de la tangente à la directrice par rapport au rayon vecteur. Il vient alors
î = a, $ — "«• — n " » nb — <[>=*= 2n6 — — , cos (»6 — c[>) = sin 2nfl *» 2 sin raO cos nO ,
2û,7w<r =cos * ndsinn6 >
d'où en intégrant de zéro a
solution d'une complète généralité, quel que soit l'ordre de la spirale sinusoïde.
La combinaison conjuguée (62) sera
Ce nouveau front est symétrique du précédent par rapport a la tangente, et il possède une vites.se de rotation triple de celle du premier, mais en sens contraire.
95. Comme second exemple, envisageons le front méridien cj>«sO. Il vient alors
—Tir = COS
La solution conjuguée est dans ce cas
Le nouveau front reste donc symétrique du rayon vecteur par rapport à la tangente.
L'intégration ne peut plus, comme dans le cas précédent, s'effectuer d'une manière générale. On la réussira du moins lorsque l'exposant sera un nombre entier N, positif ou négatif.
Cette condition
2p+l __ Nn-1 2p+l
peut toujours être remplie pour une spirale quelconque en lui adjoignant un ordre vectoriel convenable, ou réciproquement. Contentons-nous a cet égard de Tunique hypothèse
Il vient alors, pour une spirale d'ordre quelconque n associée a une loi vectorielle d'exposant — - —
* cos no , V = sin 710 ;
2|UC r/6 ' 2U 4 C
ou inversement, pour une loi vectorielle/?, appliquée a la spirale sinusoïde d'ordre 2/?+ 1
-J^-co^+l).. ^V-in ( 2, + l)9.
Cette hypothèse donne par exemple pour le cercle (w=t), la loi de similitude p*=0, c'est-à-dire un annean-tubc ; et de même, pour la ligne droite (n = — 1) la similitude p = — 1, s'exerçant en raison inverse du rayon vecteur.
§XV Coordonnées intrinsèques
96* On connaît l'élégance et l'utilité de V équation naturelle des lignes planes
qui les représente à l'aide d'une relation entre leurs coordonnées intrinsèques, à savoir le rayon de courbure p et l'angle de con' tïngcnce s évalué à partir d'une tangente fixe. Leur emploi permet de traiter avec facilité des courbes qui seraient souvent inabordables par d'autres voies.
Il semble en particulier que Ton doive en attendre ici un utile secours, puisque nos formules générales renferment en évidence le rayon de courbure p et Tare ds de la directrice, relié à e par les formules
(63) ds = pde, 5= I F(e)</e.
Il conviendra naturellement de se donner alors en fonction de la même variable e la loi de similitude cp(e), et celle <j>(e) de l'inclinaison frontale. La génératrice seule restera comme cidessus représentée dans le plan de front par son équation ordinaire entre z et £; mais nous savons que celle-ci n'intervient que pour l'évaluation des diverses intégrales définies À., ji.
La formule générale du volume (38) devient dès lors
(64) __ Ul(F + e T) «p...
Le genre de similitude le plus naturel, dans ces nouvelles conditions, consiste a supposer que les dimensions de la génératrice varient comme une puissance arbitraire p du rayon de courbure de la directrice
Il vient alors
On aura en particulier pour le premier ordre du genre de similitude
ou, en représentant en abrégé par C la constante
^ = CF 3 , V = C | F J (e)</e.
dz
Je me bornerai, pour les applications qui suivent, à cette formule simple; mais toutes les intégrations réussiraient encore, bien qu'avec plus de complication, pour une puissance quelconque p du rayon de courbure.
97. Considérons la développante de cercle d'ordre quel-, conque q, rapportée, ainsi que toutes celles des ordres qui précèdent, a un même point de la circonférence, qui constitue leur point de rebrousse ment commum
p = eff , s =
•^--êiV'V'-
11 vient pour Pépicycloïde ou Phypocycloïde d'ordre quelconque q entier, fractionnaire, ou incommensurable (*), rapportée a son sommet
p = cos qz , s = — sm qz ,
cos 3 yerfr = — I (cos Zqz -f- 3 cos ys) */s
-sin^(3-sin«^)«y(p« + 2)*.
Considérons encore la chaînette rapportée à son sommet
P = =r~» s = tange,
r cos a e D
v=c X e ^ = Â (i5tang£+ioians32+3ians5s)
La tractrice, qui en est la développante, a pour équation rapportée a son point de rebroussement
p •■== lang e , s = — Log cos s , o tang 3 s r/s = y (tang 2 e -f- 2 Log cos s) = — (p 2 - s) .
(') La valeur q *= l correspond à la cycloïde.
Soit enfin la chainette d'égale résistance rapportée a son sommet
. P= ^77* ' = Lo^ang({ + |),
%r r* C* d* C f sine , /e . ic\"|
V = C Jo^7 = TL^?+^ ta ^(2 + T)J
98. Si, au Heu d'un front normal, nous supposons une inclinaison quelconque <|>(s) sur la normale ( 4 ), le multiplicateur à introduire (N° 89) sera simplement coscj>, et l'expression générale du volume deviendra
(e) cos [c[> (s)] dz .
Bornons nous à l'exemple de l'épicycloïde, avec mouvement valsant de même module qu'elle
c[>(e) = cos qz , il viendra (65)
'- c fi
cos 4 qzdz =- -- — (sin 4qz + 8 sin 2qz + Sqe) oZ q
*■= -^r— (8 sin qz cos 3 qz + 1 2 sin qz cos qz + iqz) oZq
