Passons maintenant à la recherche du centre de gravité

La question se complique alors, car l'emploi des coordonnées intrinsèques exclut (et c'est ordinairement son avantage spécial) le recours a des repères extérieurs pris dans le plan de la courbe. Or ils nous sont indispensables pour y rapporter le centime de gravité du volume engendré. Nous tournerons la dif-

(*) Et non plus sur le rayon vecteur des coordonées polaires; qui ont disparu de la question.

ficulté en rattachant ce centre a la tangente et a la normale du point pris pour origine des angles de contingence.

Le volume d'un tronçon V du corps nous est connu en fonction de e par la formule générale (65). La tranche rfV en

sera la différentielle. Le centre de gravité g de cet élément et sa projection équatoriale go nous sont également connus par leur abscisse £" (49) dans le plan de front (fig. 13)

Fig. 13 or ' r

et comme <p a été remplacé par p (N° 9 G)

ft) + l A * L'abscisse de g sera donc x + 5" sin e, c'est-a-dire

P-l + |Aî

IAq + IM

F sin s ,

et sa différentielle

rf,r+ ' 1 ' 4 1" |li (F'sins + FcossWe,

ou, en remplaçant dx par dicose = p cossue

p|ii + 1*2) F' sin s + (|i + 2|xi + [la) F cos s]

Si nous condensons la masse rfV en son centre de gravité g % son moment élémentaire par rapport à la normale initiale sera

rfMy = L

Po + R /

ce qui donne, en intégrant par parties a l'aide de la différen-

tielle dont nous avons formé ci-dessus l'expression

V [(|xi + |xj) F' sin s + (|i + 2|n + |n) F cos s] <fe .

attendu, que le terme explicite s'annule avec Y pour la limite inférieure de l'intégration. Comme d'ailleurs

cos ecfe ,

la recherche de My (c'est-à-dire du produit par V de l'abscisse du centre de gravité G de ce volume) revient finalement à la détermination des deux quadratures

j VF' sin ede , | VF cos *<k ,

dans lesquelles on aura préalablement substitué pour V sa valeur déduite de l'équation (64).

La recherche de l'ordonnée de G par rapport à la tangente initiale dépendra elle-même de ces deux autres intégrales définies

fVF'coseflfc, f VFsins</s.

100* Considérons comme application l'épicycloïde.

Nous avons trouvé (65), pour le volume correspondant, la somme de deux termes en sinye et sin 3 ^c. Les quatre quadratures précédentes nous présenteront donc, diversement associés, les facteurs sin s, cose, sinye, cosqz, sin 3 grs. Or pourrait même leur adjoindre un multiplicateur de la forme cos me, si l'on voulait attribuer au front un mouvement valsant d'une allure quelconque. Or de tels produits peuvent toujours, par les moyens élémentaires, être décomposés en simples sinus ou cosinus de multiples de e, dont l'intégration sera immédiate.

On en pourrait dire autant pour la développante de cercle d'ordre quelconque, h l'aide de formules connues d'intégration.