Supposons qu'une surface quelconque

(66) rt«,y,.)-0,

se meuve dans l'espace sous la double condition de varier homothétiquemcnt par rapport au point qui sert actuellement d'origine pour l'équation (66), en même temps que ce centre de similitude décrira, pour son propre compte, une directrice quelconque représentée, par rapport aux axes fixes, par les deux relations

(67) F, (a, p, ï)-0, Ft(a f p, T )-0.

La loi de similitude reste elle même arbitraire, définie à chaque instant par la fonction

Cherchons l'enveloppe ainsi engendrée.

Je commence par construire une surface homothétique a la proposée, par rapport a l'origine et dans le rapport voulu

Puis je la transporte parallèlement à elle-même jusqu'à la position correspondante du point directeur (a, (î, f)

Nous obtenons ainsi l'une des enveloppées.

Nous en aurions une autre en récrivant la même formule après avoir attribué aux paramètres des valeurs a-f- cfa, P-j-</p, ï + ^f- L'intersection de ces deux enveloppées fournirait alors une courbe, que nous appellerons caractéristique, et dont la surface cherchée sera le lieu géométrique.

Or dans les calculs à effectuer sur ces deux relations, nous pouvons substituer a la seconde la différentielle de la première prise par rapport a a. p, 7, en traitant a?, y, z comme des constantes. Appelons (70) l'égalité ainsi obtenue. D'ailleurs les différentielles </gc, rfp, </f, n'y sont pas indépendantes, mais liées par l'obligation, pour le centre de similitude, de suivre la directrice. Nous devons donc également différentier les deux conditions (67), en vue d'éliminer entre ces trois formules différentielles les deux rapports de cfa, c/j3, eff, qui figurent au premier degré. Désignons de même par (71) l'égalité obtenue en annulant le déterminant de ce système. La caractéristique sera dès lors représentée par les formules (69) et (71).

Pour en obtenir le lieu géométrique, il suffira d'éliminer a, f$, f entre cette relation et les deux conditions (67). L'équation résultante en #, y, 2, représentera l'enveloppe cherchée.

103. Supposons spécialement que la surface génératrice (66) soit une quadrique. L'équation (69) étant du second degré par rapport aux binômes # — a, y — p, z — f, si on la multiplie par ç 2 , la partie de degré supérieur ne renfermera plus ce rapport de similitude; celle du premier degré se trouvera multipliée par cp, et le terme indépendant par cp*. La différentielle (70) relative à a, p, y sera par conséquent une relOtion du premier degré en x — a, y— p, z — 7. Il en sera de même de celle (71) que Ton en déduit en chassant les rapports différentiels, Je la représen-

terai en abrégé par

La caractéristique est donc alors une courbe plane, c'est-à-dire une conique; et par conséquent l'enveloppe admet un système de sections planes du second degré.

104* Formons actuellement, arec un paramètre arbitraire X, l'équation générale

(73) /+XP«-0,

en représentant en abrégé par f l'expression (69). Nous constituons de cette manière une surface très générale du second degré, dont la rencontre avec l'enveloppée (69) se fait précisément suivant la caractéristique, attendu que la combinaison des deux équations (73) et (69) donne P* = 0. On reconnaît en outre qu'il y a raccordement des deux surfaces suivant cette courbe, puisque leur intersection se fait dans un plan double:

Nous voyons ainsi que l'enveloppe cherchée des surfaces (69) est en même temps l'enveloppe de chacune des familles en nombre infini (73), qui sont définies individuellement par la série des valeurs numériques attribuées arbitrairement à X.

105* Mais parmi celle infinité de familles, une seule nous intéressera ici. C'est celle des cônes circonscrits suivant la caractéristique a la quadrique mobile, pour chacun des instants de sa déformation. Cherchons donc la valeur bien déterminée de X qui fournit cette famille spéciale.

Nous devons pour cela exprimer que la quadrique (73) passe par son propre centre. Ce point s'obtient en égalant à zéro les trois dérivées partielles de la fonction (73) relatives a x, y % z. Appelons (74) ce système d'équations du premier degré.

Si nous reportons dans la relation (73) les valeurs qu'il nous fournit pour les coordonnées du centre, nous déduirons de l'égalité ainsi formée la valeur spéciale Xq qui fournit des cônes. En attribuant alors cette valeur au paramètre de la relation générale (73), nous obtiendrons finalement l'équation

qui représente la famille des cônes circonscrits.

106* Il nous est facile de trouver le lieu géométrique de leurs sommets.

Les coordonnées x, y, z de chacun d'eux sont en effet reliées par les trois équations (74) réunies aux deux conditions (67) régissant les paramètres a, p, 7. Si, entre ces cinq relations, on élimine ces trois derniers, il restera entre x, y> z les deux équations du lieu cherché.

On sait d'ailleurs qu'il n'est pas autre que celui des pôles du plan de la caractéristique par rapport a l'enveloppée qui le contient.

107. Supposons actuellement que la quadrique (66) soit a centre; et adoptons ce point C comme centre d'homothétie.

Je considère la surface variable dans deux positions quelconques, de centres C, G ; et je trace la droite CC. Elle aura pour projections sur les trois axes a' — a, P' — p, 7' — 7. L'équation (66) ne possédant pas de termes du premier degré en a?, y, z, si l'on multiplie la formule (69) pur cp 2 , cette fonction cp n'affectera que le tcYme indépendant. La partie du second degré sera dès lors la même pour cette égalité et celle dans laquelle a, p, y auront été remplacés par oc', P' 7'. Elle disparaîtra donc si nous retranchons ces deux formules l'une de l'autre. Il ne restera, en ce qui concerne x> y, z, que les termes du premier degré de (69), dans les coefficients desquels a, p, 7 seraient remplacés par a' — a, P' — p, y' — ?. L'intersection des deux quadriques est donc plane.

Si Ton effectue à l'aide de la formule de Taylor le passage de (66) à (69), les coefficients de x> y y z au premier degré seront respectivement

Ceux de l'équation de l'intersection deviendront donc

Or on sait que ces quantités sont proportionnelles aux cosinus directeurs du plan diamétral conjugué de la direction qui a pour composantes a' — a, P' — p, ï' — T* c'est-à-dire de la ligne CC, ou de la droite des centres. Telle est donc la direction du plan de l'intersection des deux qqadriques.

108. Plaçons maintenant C et C' en deux points infiniment voisins sur la directrice (67). La droite CC en deviendra la

tangente. Par conséquent, durant le mouvement qui engendre l'enveloppe, le plan de la caractéristique reste à chaque instant conjugué, dans la quadrique enveloppée, de celui de ses diamètres qui est tangent a la directrice.

Nous savons d'ailleurs que ce diamètre contient le sommet du cône circonscrit suivant cette caractéristique. Le lieu du sommet de ce cône, que nous avons appris a déterminer (n.° 106) est donc une ligne tracée sur la surface développable qui a la directrice pour arête de rebroussement, et se trouve formée par l'ensemble des tangentes de cette courbe.