XVII

Surfaces sphérales

109. Supposons enfin que la quadrique mobile devienne une sphère, dont le centre parcourt la directrice proposée.

Les surfaces enveloppes de sphères, que nous appellerons plus brièvement sphérales, ont fait l'objet de beaux travaux. Nous nous restreindrons ici au point de vue spécial de nos recherches, et notamment nous n'envisagerons, de ces surfaces, que la nappe réelle.

Remarquons avant tout que les caractéristiques étant planes, seront toujours des cercles.

Si nous prenons l'équation originelle (66) de la surface sous la forme

l'enveloppée (69) deviendra

(77) {x-«)* + (y-W + (z-tf = ?{a, p, ï), et sa différentielle relative aux trois paramètres

(78) • (x-a)Ja + (y-p)d$ + (z-f)di

Elle représente la caractéristique, une fois que l'on en a chassé les rapports différentiels de cfa, </fl, d^ t déduits de la différent tiation des relations (67). Or les coefficients des coordonnées

courantes x % y, z sont précisément ces trois éléments. On voit donc que le plan de la caractéristique est perpendiculaire à la tangente à la directrice au point occupé sur cette courbe par le centre de la sphère variable. C'était d'ailleurs facile a prévoir, puisqu'il est (n.° 108) parallèle au plan diamétral conjugué de cette tangente.

110. Toutefois ce plan ne passe pas par le point directeur. Il s'en trouve à une distance h mesurée suivant la tangente, qui a pour valeur

Cette expression représente dès lors la hauteur du cône qui a pour sommet le centre de la sphère, et pour génératrices les normales de cette dernière le long de la caractéristique.

Fig. 14 L'angle c qu'elles font avec son plan (fig. 14) a pour valeur

sin c = — «=

\/da* + dp + d?

ou encore (79)

tang c = — »

en désignant par k le rayon de la caractéristique.

Ce dernier forme avec h un triangle rectangle dont l'hypo-

ténuse est le rayon sphériquo cp, ce qui donne

On peut enfin exprimer la hauteur H du cône de révolution circonscrit a la sphère (et par suite a la sphérale) le long de cette caractéristique. Elle constitue une troisième proportionnelle à k et A,

L'angle générateur de ce cône n'est autre que c.

111. Attachons-nous spécialement, comme dans les deux parties précédentes de ce mémoire, au cas d'une directrice plane comprise dans l!équateur

Le rapport de similitude ne dépendra plus que d'une seule variable, sous la forme <p(a); puisque 7 = 0, et que (5 peut être remplacé par F (a).

L'équation de la sphère mobile devient dans ces conditions

(83) (*-a)« + fr-F(a)]» + rf-<p>)-0, et sa dérivée relative k a

(84) (a î -a) + [y-F(a)]F'(a)-cp(a)cp'(a) = 0.

La recherche de l'équation de la sphérale se réduit a l'élimination du paramètre a entre ces deux relations.

La distance du centre de la sphère au plan de la caractéristique devient alors

et les quantités c, k> H s'en déduisent par les formules (79), (80), (81).

112* Les sphérales de cette catégorie présentant une série de sections circulaires perpendiculaires au plan de Téquateur,

peuvent être considérées comme des surfaces a front générateur.

Nous soulignerons avec insistance cette remarque, puisqu'elle suffit à elle seule pour étendre à ce nouvel objet de nos études tous les résultats de la seconde partie, relatifs à la recherche du volume, du centre de gravité, du moment d'inertie. Pour toutes ces surfaces, la génératrice restant un cercle, les constantes de divers ordres ji ou X garderont toujours les valeurs qui ont été indiquées pour ce cas (N.° 86, note 1).

Toutefois pour pouvoir appliquer effectivement cette assimilation, il est nécessaire que nous possédions l'équation de la nouvelle directrice, ainsi que les deux lois de l'inclinaison frontale et de la similitude.

Or l'équation (82) de la directrice devient en coordonnées polaires

r sin 6 «= F (r cos 0).

Admettons que Ton puisse la résoudre sous la forme que nous employons d'ordinaire

k ^ ? [Fi (fl) cos fl] . cp' [Fi (fl) cos 0] ^ "" v/r+F ,T [Fi(0)cose]

Fig. 15

Représentons la en abrégé par

Le triangle OMMi (fig. 15) donne en premier lieu

n* = r a + A* — 2rA cos a,

l'angle a étant fourni par les formules

tangas