X-jf Y— y Z
*- *I fi '
D'après la remarque précédente (N° 113), elle rencontrera la directrice, puisqu'elle est également une normale de la sphérale; et ce ne pourra être que par sa trace sur le plan de Péquateur (Z = 0), dans lequel est située cette courbe. On aura donc, entre les coordonnées de cette trace
la relation
c'est-à-dire
La ligne de contact sera dès lors représentée par les deux équations (89), (92).
Quant a la sphère qui admet pour son propre compte cette normale au point (se, y, z), elle doit avoir son centre en (a, P), et un rayon <p encore inconnu. Son équation est donc
Mais puisque le point (a?, y, z) se trouve sur la ligne de contact, les trois relations (89j, (90) permettent de déterminer ses coor-
données en fonction de a. Si donc on reporte ces trois valeurs dans cette expression de <p 2 , on possédera ainsi la loi cherchée cp(a), A partir de ce moment, on rentrera dans les conditions ordinaires pour la recherche de l'équation de la sphérale.
§ XVIII Sphèrales réciproques
115. Appelons sphèrales vectorielles celles pour lesquelles le rayon <p de la sphère variable reste en chaque point de la directrice D (plane ou gauche) proportionnel au rayon vecteur OM de cette courbe, que nous continnerons à représenter par r, mais en lui attribuant la valeur la plus générale, celle de l'espace
I e rayon sphérique sera donc Br, ou r sin b, si nous conservons nos anciennes notations. La lettre p restera affectée a représenter les rayons vecteurs ON des divers points de la sphérale elle-même.
Transformons tout l'ensemble de la figure par rayons vecteurs réciproques
pp' = **.
La directrice D se change en une courbe D' située sur le même cône de sommet O, et rencontraut la précédente en un ou plusieurs points K, de rayon vecteur OK = £.
Chacune des sphères se transforme en une autre sphère. A l'intersection de deux d'entre elles infiniment voisines correspondra celle des deux nouvelles. En un mot chaque caractéristique se change en une nouvelle caractéristique circulaire, et l'ancienne enveloppe devient une autre sphérale. Déterminons en la directrice et la loi de similitude.
Les points le plus rapproché et le plus éloigné du pôle sur chaque sphère (fig. 16) ont pour rayons vecteurs
OP = r-Br = (l — B)r, OQ = r + Br = (l+B)r.
Ils deviennent inversement sur la nouvelle sphère le plus éloigne
Fig. 16
et le plus rapproché du pôle
OV
OQ' =
Mais le centre de celle-ci ne se trouve nullement au point Al' réciproque de M. Il occupe le milieu Ci de la distance P'Q'
n=OC,=
OP' + OQ' i*./ I
\ 1 — B T l+fl) (1-B*)r*
ou si l'on veut
en fonction du rayon r* du point réciproque M'. La nouvelle directrice D|, lieu géométrique des points Ci, est donc une courbe homothétique de la transformée D' de la directrice proposée D, d'après le rapport de similitude (')
sec
(>) Il importe de remarquer que cette circonstance exclut de la théorie
Quant au nouveau rayon sphérique, il a pour valeur
Bi»
(^B-') = (l-BV ° Bri -
La nouvelle sphérale est donc elle-même vectorielle, et du même indice B que la proposée. Nous pouvons dès lors énoncer ce théorème fondamental.
La transformée par rayons vecteurs réciproques d'une sphérale vectorielle quelconque d'indice sin b est une autre sphérale vectorielle de même indice, ayant pour directrice une courbe homothètique, dans le rapport séc*£, de la transformée de la directrice proposée.
116. Considérons comme exemple la surface qui concentrera plus loin notre attention (§ XXIII) sous le nom de sphero-nautile, et qui a pour directrice D la spirale logarithmique
La transformée D 7 de cette courbe sera
et la nouvelle directrice Di
cos 2 b \ cos b ) J
ce qui peut s'écrire
r| = e A[-e +î tan,aLog(^)] é
La surface réciproque du sphéro -nautile est donc un sphéro-nau-
actuelle les sphérales spéciales que nous appellerons équiradiales, pour lesquelles le rayon sphérique reste constamment égal au rayon vecteur
tile identique, mais renversé autour du rayon vecteur de vale
leur r » ^ e manière a tournoyer dans le sens dextrorsum
cos b
si le proposé était sinistrorsum, ou réciproquement.
Sur les divers cônes de latitude, chaque cônhélice a pour transformée une cônhélice du nouveau sphéro-nautile.
117. Considérons de même la sphérale vectorielle qui a pour directrice la spirale sinusoïde d'ordre quelconque n (N° 137)
r = cos n nO .
La nouvelle directrice sera
¥T = \ r) cos tt (— w *)»
r cos* b \ cos b I v '
c'est-a-dire une spirale sinusoïde d'ordre égal et de signe contraire.
La transformée par rayons vecteurs réciproques de la proposée sera donc une sphérale appartenant a la même catégorie et de même indice vectoriel, mais d'ordre égal et de signe contraire, et amplifiée homothêtiquement dans le rapport séc* A.
118. On obtient un énoncé identique avec les spirales algébriques (N° 138), qui ont pour équation
S xix
Directrice en coordonnées sphériques
110. Le théorème fondamental qui précède (N° 1 1 5) permet d'associer deux par deux les sphérales vectorielles pour la recherche des leurs équations, en choisissant à cet effet la plus simple. Cette remarque devient particulièrement utile en ce qui concerne les directrices planes pour lesquelles on adopterait un pôle vectoriel situé en dehors de leur plan, à une distance A.
Ce plan aura en effet pour transformée par rayons vecteurs réciproques de module k une sphère passant par le pôle, sur laquelle les rayons vecteurs de la directrice plane D dessinent
sa transformée sphérique D'. La trajectoire D| du centre des nouvelles sphères variables, qui doit lui être semblable, sera elle-même tracée sur une seconde sphère fixe (d'après le module d'homothétie séc*&) laquelle est représentée par la fig. 17.
Indiquons en conséquence la marche a suivre pour former l'équation de la sphérale vectorielle d'une courbe sphérique Di, dont on possède, entre la longitude = AON de son point décrivant M, et sa colatitude \i = QOM, l'équation
Les coordonnées jr, y, z du centre M de la sphère variable (si Ton prend pour unité le rayon de la sphère de référence), ont pour valeurs
x = OK = OH cos = sin |A cos ,
y = HK = OH sin = sin |i sin ,
z — MH = cos |i .
Le rayon vecteur PM sera, dans le triangle rectangle PMQ
r = PM = PQ cos QPM = 2 cos -L- ,
Le rayon de la sphère variable est donc 2B cos-—- , et son équation, entre les coordonnées courantes X, Y, Z,
(X — sin |i cos 0)* + (Y — sin |i sin 0)* + (Z - cos \if - 4B f cos* -£ , on en développant
X* + Y a + Z î -2sin|i(Xcos0 + Ysine)-2Zcos|i + !-*B»cos*^ = 0,
c'est-à-dire en coordonnées mixtes R, o>, X
jv 2R [sin |x cos (0 — a>) + cos |i tang X]
COS Ai
- 2B* cos |i + (! - 2B*) = , et enfin, d'après l'équation de la directrice
(93) (^)*~ 2 (^X) [ si "^osii + cosXsin|xcos(F-«>)]
— 2B 2 cos|i + (l— 2B*) = 0.
Telle est l'équation de la sphère variable en fonction du paramètre ji.
Prenous en la dérivée par rapport à ce dernier
B f sin|xcosX .... . /1? x
^ \- sin X sm |i — cos X cos ja cos (F — o>)
+ cos X sin |i sin (F — a>) F' = , on en divisant par sin ji cos X
— + tangX — cot |i cos (F — <d) + F' sin (F — co) = , n
et enfin
(94) F , sin(F — o)) = cot|icos(F — co) — M,
si Ton pose pour abréger
B 2 M = tangX + — .
Or la relation (93) donne, en la divisant par r-
' r cos X
cos X sin |i cos (F — a>) -f sin X cos \i
c'est-à-dire
sin[icos(F-a>): tang X cos n + 2 cos< x - -^- cos [t + — ^—
— ^ n « x +Tr ) c ° 8 ^+y Wsn +— r— ) •
Si enfin nous introduisons la nouvelle abréviation 1/ R 1-2B»X
on pourra écrire
(.95) sin|icos(F — o>)*=N — Mcosji.
Substituons cette valeur de cos (F — co) dans l'égalité (94), il viendra
(96) F' sin* |i sin (F — ») — N cos \i— M .
Actuellement multiplions les deux membres de la relation (95) par F'sinjt, élevons les au carré, ainsi que ceux de (96), et ajoutons « Nous faisons ainsi disparaître u>, et il reste
(97) F' 2 sin* |i « F'* sin« ji (N — M cos jt)* + (N cos |i - M)* .
Cette résolvante renferme p. sous les signes trigonométriques et dans la fonction F', sans que F y paraisse par lui-même. Quant aux symboles M, N, ils sont uniquement fonctions de H et X. Il ne restera plus qu'a tirer dans chaque cas de cette égalité l'expression de p., pour la substituer dans la précédente (96), ce qui fournira en R, <o, X l'équation de la sphérale.
120. Appliquons cette méthode a la recherche de la sphérale vectorielle qui a pour diroctrice une loxodromie.
Le triangle infinitésimal formé par les trois arcs élémentaires de cette ligne, du méridien et du parallèle donne pour l'angjta constant a qac fait la courbe avec le méridien
que
du.
eota= . ,
sm p ad
d'où l'on tire
a \i ' sin \l
La relation (97) devient dès lors
tang* a [sin * |i — (N — M cos |a)*J = (N cos |i — M)* , ou en développant ' "' of ' ■
[(M* + 1) sin* a -h N* cos* *] cos* }t + 2MN cos \l - [(N* - 1) sin* a + M* cos* a] = 0,
équation du second degré en cos ji, qui permettra d'achever la solution.
121. La transforjnée D' de la loxodromie D est une spirale logarithmique du même angle a % et la courbe Dj' semblable à celle-ci une spirale identique, mais déviée. Toutefois il ne s'ensuit pas pour cela que la sphéralc correspondante soit un sphéronautile. En effet le rayon des sphères variables devrai t pou r cela prendre comme valeur B* A , tandis qu'elle est B V^A*-{-* iA 0. Il s'agit donc ici d'une surface plus générale, d'après l'arbitraire A, admettant comme limite le sphéro-nautile, lorsque ce paramètre tend vers zéro.
