XX
Directrice en coordonnées rectangulaires
122* Revenons maintenant a la directrice (82), rapportée, .dans son propre plan, à des coordonnées rectangulaires. Nous avons vu qu'il suffit, pour obtenir l'équation de sa sphérale dans les conditions les plus générales, d'éliminer a entré les deux relations (83), (84).
Pour en. montrer un exemple, prenons comme directrice un cercle de rayon égal à l'unité, avec un rayon sphérique By proportionnel à l'ordonnée de cette circonférence. Si désigne l'azimut du centre de la sphère variable, elle aura pour équation
(x — cos 0)* + (y— sin 0)* -f- s* = B* sin* , (jt* + f + z *) — 2 (x cos d + tj sin 0) + cos* + ( f — B*) sin* = 0,
ou, en coordonnées mixtes,
-^iT-- 2Kcos(fl-a>)+t-B* sin*0 =0.
cos a X v '
Cette relation donne comme dérivée relative a
R sin (0 — - co) « B* sin 6 cos 8 •
On tire de la
sin (0 — (o) = - s - sin cos fl ,
.. R , 1-B»3Jn«fl
et en ajoutant les carrés
B 4 s in 2 0(1— sin»fl ) , / R ^1-B*sin*8\*
v , / R 1-B»sin»9\ »
— + V2cos2X + 2R /,'
équation bicarrée en sin 6. Il n'y aura plus qu'à substituer la valeur qu'elle fournit dans l'équation dérivée, pour obtenir celle de la sphérale.
123* La méthode générale se simplifie pour les sphérales êquilalères, dans lesquelles le rayon de la sphère mobile reste constamment égal à l'ordonnée de la directrice.
Si en effet on remplace <p par F dans l'équation (83), elle se réduit a
d'où la dérivée
avec élimination de a entre ces deux formules.
124. Si nous y faisons à la fois y=»0, z = 0, l'une quelconque des deux donne x = a, et l'autre se trouve identiquement satisfaite par cette substitution. Il en faut conclure que
la droite représentée par ces deux équations, c'est-à-dire Taxe des abscisses, fait toujours partie de la surface. Ce résultat, d'ailleurs évident à l'avance, nous permet de signaler une conséquence utile.
Le pied P de toute ordonnée (fig. 18) lait d'après cela partie
de la caractéristique. Or nous savons d'une manière générale (N° 109) que la trace du plan de cette courbe est une perpendiculaire sur la tangente en M a la directrice.
Abaissons donc cette perpendiculaire PP\ Mais cette tangente contient aussi le sommet Mj du cône de révolution circonscrit suivant la caractéristique. Or PO tangente au grand cercle de la sphère mobile est une des génératrices de ce cône. Le sommet Ma se trouve ainsi déterminé par Tintersection de ces deux droites. Dès lors la sphérale se présente sous un nouvel aspect distinct du précédent, comme l'enveloppe des cônes de révolution engendrés par la rotation de Taxe des abscisses autour de toutes les tangentes de la directrice successivement.
1Ô5. Prenons comme exemple la logarithmique
Les formules (98), (99) deviennent
£ma =
d'où il suit:
et pour l'équation de la spUértde
L'équation
y = nLoga?,
représente au fond la même courbe; mais, résolue sous cette forme, elle donne naissance a une sphérale toute différente. Les rayons sphériques, égaux aux nouvelles ordonnées, le sont dès lors aux anciennes abscisses et non plus, comme tout à l'heure, aux anciennes ordonnées.
Les formules générales (98), (99) donnent alors
(a-*)» + ^ + z* *Log« = ^ ^ ,
cette dernière peut s'écrire:
(a — X)* + x (a r- j?) — ny = .
Elle nous fournit a — x qu'il suffit de reporter dans la précédente; d'où l'équation de la nouvelle sphérale
126* Considérons encore comme directrice la chainette
e tnx |- e — mx
Nous aurons (98, 99)
(ioo) ** + r~*-!ar"*+*+*\
e tm e -ma = (a ^- j?) ,
my
d'où, en ajoutant et retranchant alternativement
'*2ye*« « y* + z* + (a — x)*+ — (a — or),
2ye-ma a*. y« + ** + ( a — *)* (a — j;) ,
et en multipliant membre à membre
