V-b 1 +* 1 +(«-*) ,i l f --sf

De là une équation bicarrée en a — a?, dont on substituera les racines dans la formule (100).

La sinusoïde

y = cos nx ,

conduit également à une équation bicarrée; et cela devait être en effet, puisque les deux équations rentrent l'une dans l'autre si l'on prend

127* Envisageons enfin comme directrice la parabole d'ordre positif quelconque n, entier, fractionnaire ou incommensurable

y = x», F = a", F^na»- 1 ,

ce qui donne pour les équations générales (98), (99)

(101) 2ya" = (a-*)* + y* + * a ,

(102) nyoP-l^oL — x.

Multiplions la première par n, la seconde par 2a, et retranchons. Le terme a" disparait, et il reste

*(« — *)■ — 2(a-a?) + n(y* + **) = 0, ou, sous une autre forme

(103) (n-.2)(a-ar)*-2a;(«-aj) + n(y 2 + * 2 ) = 0,

équation du second degré en ol — jc qui donne

(104) (n-2)(a-#) = a+y^ 2 -rc(n--2)(y* + ^,

En substituant dans l'égalité (102), on obtient l'équation de la sphérale.

128. Il se présente cependant une exception pour le cas, précisément le plus simple de tous, celui de la parabole du second degré (n = 2). La formule (104) ne peut plus alors fournir a; mais si l'on se reporte à (103), il vient directement

Z- = a — # = 2 va.

Tirant de là « et a — x pour les substituer dans (101), on obtient

d'où, en multipliant par a ■ * -

spbérale du troisième degré. ,• s . , ... . . ,, . «

Sa trace sur le plan z = de la directrice a pour équation

qui représente d'une part Paxe des abscisses y = 0, comme nous le savons d'une manière générale (N° 128), et en second lieu le cercle

qui passe au sommet de la parabole, et a pour centre son foyer (*).

(i) C'est précisément pour cette surface qu'a été tracée la figure 18.

§XXI Directrice en coordonnées polaires

129* Supposons maintenant que la directrice soit représentée par l'équation

La sphère qui a pour rayon <p(0) et son centre au point (r, 0) admet comme équation

(106) (j?— rcos0)* + (y — rsinAJ + z 1 ^*,

(107) a? 1 + y i + « f — 2F(jrcos0 + ysin0) + F*--<p* = O,

(108) — ^y-2FRcos(e-ci>) + F»-cp i = 0.

La dérivée relative h devient

(109) FRsin(0-<o)-F'Rcos(0~a>) + FF'--cp<p'*=O,

et l'équation de la sphérale s'obtient pat* l'élimination de entre

(10») et (109).

130. Si l'on envisage en particulier une sphérale vectorielle

<p = Br = rsin£, ces équations fondamentales deviennent

(110) F*eos*A-2FR cos(0-a>) + — ^ 0,

cos ^

(11 1) FF cos* b - R [F' cos (0 - o>) - F sin (0 -«>)] = .

131. Mais revenons aux formules entièrement générales (108, 109), pour calculer les différents éléments de la caractéristique.

Nous savons que l'équation dérivée (109) représente la trace

du plan vertical de cette courbe» Rendons lui, en coordonnées rectangulaires, la forme

(Fsin0 — F'cos0),r — (Fcos0 + F'sin0)y + FF' — <p<p'«0,

La distance h de ce plan au point décrivant M (r co$ 0, r sin 0) a pour valeur

(Fsin0— F'cos0)Fcos0 — (Fcos0+F'sin0)Fsin0+FF'— <pcp' ~~ v/(Fsin0-F'cos0)* + (Fcos0 + F'sin0)* '

ou en réduisant

(112) A= . Wl ,

Nous en déduisons (80) le rayon de la caractéristique

l'angle générateur (79) du cône circonscrit

(114) sinc = A ?! ,

la hauteur (81) de ce cône

enfin la distance MMj = H + h du point décrivant M au sommet du cône circonscrit:

h h <p' cp' sina

132. Appliquons spécialement ces formules au cas des sphé- A-8 R. 4822

raie» vectorielles

f *= F sin b , FF' sin» 4

(118) *° Fsin *y ~ F » +F< .

ma\ • F' sin*

(119) sin r = — -. ,

F' cos «

Cette dernière valeur est indépendante du coefficient vectoriel b. Elle montre que le sommet M* du cône circonscrit se trouve a l'intersection de la tangente MMg de la directrice avec la perpendiculaire OMj élevée au pôle sur le rayon vecteur OM.

Lorsqu'il s'agit spécialement du sphéro-na utile, dont la directrice est une spirale logarithmique, on sait que telle est la construction qui fait connaître, en MM*, la longueur de l'arc de cette courbe a partir de son pôle asymptotique.

133. Supposons comme exemple une directrice recti ligne perpendiculaire à l'axe polaire

r cos 6=1, F = -

eosfl " La relation (107) devient

** + y* + ** — 2» — Zy tang 6 + cos 2 b ( 1 + tang* fl) = .

On y peut considérer tango comme le paramétre par rapport auquel doit être prise la dérivée, ce qui donne

tang0 = — 3L-,

d'où, en substituant

.r 2 + y* + **-*2a> L4-cos 2 £ = 0,

* ces* A

ce qu'on peut écrire

sin* b cos* A

On y reconnaît l'équation de la surface gauche de révolution autour de la directrice. Son hyperbole méridienne

(*- iP y* ,

sin*£ cos 2 A

a pour demi-axes sini, cosi, et pour foyer l'origine.

Si l'on veut envisager comme second exemple un cercle rapporté à l'un de ses points, il ne sera plus nécessaire de reprendre a cet effet aucun calcul. Cette courbe est en effet la transformée par rayons vecteurs réciproques de sa tangente au point diamétralement opposé au pôle. Dès lors la nouvelle sphérale sera, d'après le théorème fondamental du N° 116, la transformée par rayons vecteurs réciproques du précédent hyperboloïde de révolution a une nappe relativement à un des points de son cercle focal, a savoir

R = cos \ (cos "k cos o) + y/cos* X — cos* b) .

134* La méthode générale se simplifie lorsqu'il s'agit des sphérales êquiradiales , pour lesquelles le rayon sphérique reste constamment égal au rayon vecteur: cp = r. Il vient alors, en supposant cos£ = dans les relations (MO), (111)

H22Ï F= R Rsin(e-(o)

v } 2cos(fl — <d)cos*X ' 2 cos* (fl-o)) cos* X v

ce que l'on peut mettre sous la forme

Nous aurons également en divisant membre à membre, et en

formant la somme des carrés

(125) tang (0 — w) = — - « cot a .

d'où Ton déduit encore ces formules qui nous seront utiles plus loin

(126) o) = + arctang — - — ~ = 6 — arc tang — - ,

/ f'*-FF"\„ F* + 2F'«-FF" M

d *>=*y+-fï+yïr) d6 = — F « +F >» M -